Интегрирующий множитель

В предыдущем разделе мы видели, что уравнение в полных дифференциалах всегда интегрируется (в крайнем случае, решение находится в квадратурах).

Естественно возникает вопрос: нельзя ли уравнение не в полных дифференциалах (у которого не выполняются условия (1.22)) привести к уравнению в полных дифференциалах. Обычно это удаётся сделать, т.е. найти функцию , после умножения на которую уравнение

(1.26)

преобразуется в уравнение в полных дифференциалах:

(1.27)

Такая функция называется интегрирующим множителем, а функция -соответствующим ему интегралом уравнения (1.26). При этом, так же как и в предыдущем разделе, предполагаем, что и непрерывны вместе с частными производными и в некоторой односвязной области и ни в одной точке этой области не обращаются в нуль одновременно, а от интегрирующего множителя требуем, чтобы он не обращался в нуль и имел непрерывные частные производные первого порядка.

Применяя признак полного дифференциала (1.22) к уравнению (1.27), получим:

(1.28)

Это уравнение с частными производными неизвестной функции ( и определены). В некоторых случаях легко найти решение уравнения (1.28), т.е. интегрирующий множитель для (1.26).

Предположим, что для (1.26) , т.е. зависит только от одной переменной. Тогда и из (1.28) получим

или (предполагая, что )

(1.29)

В (1.29) левая часть зависит только от . Тогда и правая часть должна зависеть только от :

(1.30)

Тогда (1.29) запишется как

откуда

(1.31)

В качестве примера найдём интегрирующий множитель для линейного неоднородного уравнения, общий интеграл которого мы умеем строить:

.

Перепишем его в дифференциальной форме:

Проверяя выполнение условия (1.30), получим

.

Следовательно, функция

– интегрирующий множитель линейного уравнения.

В случае если интегрирующий множитель зависит только от , уравнение (1.28) принимает вид

или (если )

Если выполняется условие

то интегрирующий множитель вычисляется по формуле, аналогичной выражению (1.31):

(1.32)

Пример. Дано уравнение

.

Для этого уравнения необходимое и достаточное условие (1.22) не выполняется:

Проверим (по (1.30)), имеет ли оно интегрирующий множитель, зависящий только от :

То есть (1.30) выполняется и тогда

По выражению (1.27) получим новое уравнение уже в полных дифференциалах:

.

Проинтегрировав его, получим общее решение:

.

Рассмотрим общий случай, когда интегрирующий множитель является функцией от другой заданной функции .

Тогда (1.28) запишется как

(1.33)

Отсюда получим

(1.34)

Последнее выражение подразумевает, что знаменатель не равен нулю. Тогда

Пользуясь условием (1.34), мы можем найти условие существования интегрирующего множителя заданного вида. Например, m зависит только от произведения , т.е. , или (из (1.34))

(здесь ).

Зная интегрирующий множитель, мы можем найти не только общий интеграл уравнения, но также и все особые решения.

Так как

,

то .

Данное уравнение можно переписать как . Это уравнение распадается на два: и .

Первое приводит к общему интегралу , а второе может привести к особому решению.

Таким образом, особым решением исходного уравнения (1.26) может быть только такое решение, вдоль которого интегрирующий множитель обращается в бесконечность.

Тогда можно сформулировать правила нахождения особых решений:

1) найти линии, вдоль которых обращается в бесконечность;

2) проверить, являются ли линии интегральными кривыми;

3) проверить, содержатся ли найденные решения в общем решении или нет (т.е. существует ли константа для общего решения, при которой получается рассматриваемое решение).