ГЛАВА 1. Основные понятия и определения

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Основные понятия и определения

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, причём в уравнения входят не только сами функции, но и их производные:

(1.1)

где – независимая переменная (по ней производится дифференцирование);

– не известная функция (зависимая переменная);

– производные от по .

Если неизвестная функция зависит от одной независимой переменной, то это обыкновенные дифференциальные уравнения. Эти уравнения и рассматриваются в данном пособии.

Дадим определение некоторых терминов и понятий, которыми будем пользоваться в дальнейшем.

Порядок старшей производной в (1.1) определяет порядок дифференциального уравнения. В случае имеем уравнение первого порядка. Причём мы будем изучать такие уравнения, где независимая переменная и искомая функция представляются вещественными.

При изучении дифференциальных уравнений (ДУ) основной задачей является нахождение всех решений ДУ и изучение свойств этих решений. Когда говорят "решить ДУ", то это означает проинтегрировать данное уравнение.

Термин “проинтегрировать” понимают двояко:

1. В самой узкой постановке: записать выражение для искомой функции через элементарные:

.

Далеко не всегда это удаётся сделать.

2. Общая постановка задачи нахождения решения: уравнение считается решённым, если оно приведено к квадратурам, т. е. операциям взятия неопределённого интеграла.

Линейное ДУ – это такое уравнение, в котором неизвестная функция и все её производные только в первой степени и не являются аргументами других функций. Линейное ДУ с переменными коэффициентами называется такое уравнение, в котором коэффициенты при неизвестной функции и всех её производных являются функциями независимой переменной.

По общему выражению (1.1) запишем

(1.2)

Изучение разных видов ДУ первого порядка начнём с уравнений, разрешимых относительно производной. Из выражения (1.2) получим:

.

В теории ДУ используют разные формы их представления:

1. «Перевёрнутое» уравнение:

(1.3)

Это представление используется в окрестности точек, где ®¥.

2. Иногда целесообразно (1.2) представить в виде

(1.4)

Здесь и равноправные переменные, любую из них можно принять как независимую.

3. Если (1.4) умножить на некоторую функцию , получим симметричное уравнение:

(1.5)

Дадим подробное определение такого важного понятия, как решение дифференциального уравнения.

Пусть в (1.2) определена на подмножестве A вещественной плоскости , т. е. непрерывна вместе со своими частными производными в каждой точке из A. Тогда определённый в интервале , будет решением (1.2), если:

1) существует производная для всех на , т.е. непрерывна на ;

2) функция обращает (1.2) в тождество , справедливое для всех на интервале , т. е. для любого на точка принадлежит A.

Примеры. 1. Пусть , , Покажем, что является решением данного уравнения. Для этого подставим заданную функцию и её производную в уравнение и получим тождество:

.

Таким образом, функция обращает уравнение в тождество для , т. е. на всей оси .

2. Пусть Тогда