Лема Лоренця

Якщо в лінійному ізотропному середовищі система сторонніх джерел з густиною струмів створює електромагнітне поле , а друга система з густиною струмів створює поле , то зв’язок між ними встановлює л ема Лоренця. Вона дозволяє також розв’язувати задачі про збудження поля струмами складної конфігурації за заданими полями елементарного джерела.

Запишемо рівняння Максвела для двох вказаних полів, джерела яких в загальному випадку не співпадають в просторі:

Помножимо скалярно записані рівняння згідно схемі, об’єднуючи їх попарно, віднімемо відповідні частині отриманих рівнянь. Отримаємо

. (4.67)

До лівих частин (4.67) застосуємо відому векторну тотожність, таким чином отримаємо

Для ізотропних середовищ немає різниці між і , і . Тоді віднявши почленно, отримаємо:

. (4.68)

Вираз (4.68) – це диференціальна форма леми Лоренца.

Інтегруючи (4.68) по довільному об’єму і застосовуючи формулу Остроградського-Гауса, отримаємо інтегральну форму леми Лоренца:

. (4.69)

Це співвідношення дозволяє знаходити поле, яке створюється струмом з густиною , якщо відоме поле, яке збуджується струмом з густиною .

Векторні добутки , в лівій частині (4.61) можна розглядати як взаємні вектори Пойнтинга двох незалежних електромагнітних процесів.

На основі леми Лоренца доводиться теорема взаємності, яка має фундаментальне значення, зокрема в теорії антен.