Залежність між факторною (х) та результативною (у) ознаками

х		3,5	4,	5,2	6,3	7,1	8,4	9,5
у	26,4	26,9	27,3	27,7	28,1	28,4	29,1	29,4

Розв’язання:

Математично лінійний зв’язок у загальному вигляді записується рівнянням:

Y = a + bx,

де Y – результативна ознака,

а – параметр рівняння, який характеризує початковий рівень;

b – параметр рівняння, який характеризує середній абсолютний приріст;

х – факторна ознака.

Параметри рівняння регресії визначаються методом найменших квадратів, основна умова якого – мінімізація суми квадратів відхилень емпіричних значень (y) від теоретичних Y:

де у – емпіричні значення результативної ознаки;

Y – теоретичні значення результативної ознаки.

Математично доведено, що значення параметрів a та b, при яких мінімізується сума квадратів відхилень, визначаються із системи нормальних рівнянь:

.

Розв’язавши цю систему, знаходимо такі значення параметрів:

; .

Для визначення параметрів лінійного рівняння складемо допоміжну таблицю.

Допоміжна таблиця для розрахунку параметрів лінійної моделі

і	х	у	ху	х2
		26,4	52,8
	3,5	26,9	94,15	12,25
		27,3	109,2
	5,2	27,7	144,04	27,04
	6,3	28,1	177,03	39,69
	7,1	28,4	201,64	50,41
	8,4	29,1	244,44	70,56
	9,5	29,4	279,3	90,25
Разом		223,3	1302,6	310,2

Використовуючи дані наведеної таблиці, знаходимо параметри лінійного рівняння:

= 0,408

= 223,3 / 8 – 0,408 × 46 / 8 = 25,57.

Таким чином, лінія регресії має вигляд: у = 25,57 + 0,408 х.

Тобто, при зміні факторної ознаки х на одиницю результативна ознака у зросте на 0,408.

Для оцінки істотності та щільності лінійного зв’язку використовується лінійний коефіцієнт кореляції (Пірсона) r:

,

де – факторна дисперсія;

– загальна дисперсія.

– середнє значення факторної ознаки;

– середнє значення результативної ознаки;

n – кількість пар ознак.

Для обчислення коефіцієнта кореляції Пірсона складемо допоміжну таблицю.

Допоміжна таблиця для обчислення коефіцієнта кореляції Пірсона

і	х	у	ху	х2	у2
		26,4	52,8		696,96
	3,5	26,9	94,15	12,25	723,61
		27,3	109,2		745,29
	5,2	27,7	144,04	27,04	767,29
	6,3	28,1	177,03	39,69	789,61
	7,1	28,4	201,64	50,41	806,56
	8,4	29,1	244,44	70,56	846,81
	9,5	29,4	279,3	90,25	864,36
Разом		223,3	1 302,6	310,2	6 240,49

Тоді: = 310,2 / 8 – (46 / 8) ² = 5,7125;

= 6 240,49 / 8 – (223,3 / 8) ² = 0,9536.

= = 0,997.

Для n= 8, r_кр = 0,71. Оскільки розраховане значення коефіцієнта кореляції Пірсона більше за його критичне значення, то зв’язок є істотним.

Коефіцієнт кореляції Пірсона набуває значень у межах , тому ха-рактеризує не лише щільність, а й напрямок зв’язку. Додатне значення свідчить про прямий зв’язок, а від’ємне – про обернений.

Відповідь: лінія регресії має вигляд: у = 25,57 + 0,408· х; лінійний коефіцієнт кореляції Пірсона r = 0,997 свідчить про щільний прямий зв’язок.