Приложение теории МКЧП к численному решению больших комплексных неэрмитовых СЛАУ в задачах электромагнитного рассеяния

Рассмотрим трехмерную векторную задачу электромагнитного рассеяния на диэлектрике. Сингулярное интегральное уравнение второго рода, описывающее задачу и свойства интегрального оператора перехода, исследовано в работах [13-17]. В квазистатическом случае для однородного диэлектрика c комплексной относительной диэлектрической проницаемостью область локализации непрерывного спектра ИО перехода [14] задается отрезком

(13)

Таким образом, для электродинамической задачи вектор-отрезок спектра ограничен начальной точкой 0. При этом, если центр отрезка задается вектором , то и переменная в (12) . Асимптотический комплексный знаменатель сходимости МКЧП есть функция лишь вектора

(14)

Для квазистатического спектра-отрезка (13) с учетом получаем асимптотический знаменатель сходимости МКЧП

(15)

На рис. 3 представлены спектральные квазистатические картины рассеяния на шаре безразмерного диаметра и с различными значениями вещественного . В случае вещественного оптимальный параметр сходимости МОПИ , а знаменатель сходимости МОПИ (зависимость от такая же и в общем комплексном случае [15])

(16)

а) б)

в)

Рис.16. Квазистатические спектральные картины. (а)- , (б)- , (в)-

Так, на рис. 16 (а) представлен спектр оператора перехода для случая (четвертая часть длины волны в вакууме) и , , . Здесь и далее, маркер «кружок» соответствует точкам спектра, маркер «крестик» значениям чебышевских параметров в процессе (6), маркер «плюс» - значение оптимального параметра в методе МОПИ.

В задаче рис. 16 (а) точность решения по норме поля в области рассеяния за итераций МОПИ составила , при том же числе итераций метод МКЧП привел к точности , то есть на порядок выше. Знаменатели сходимости соответственно , . Отношение . Общее число комплексных неизвестных при числе узлов по одной координате и числе узлов на длину волны в среде .

В задаче рис. 16 (б) электрический размер области в вакууме тот же , но . Также, как и на рис. 16 (а) заметно появление элементов дискретного спектра ввиду уже почти резонансного электрического размера в среде. Решение МОПИ получено за итераций с точностью . При этом решение МКЧП с тем же получено с точностью на два порядка выше . =0.6, , .

В задаче рис. 16 (в) электрический размер области в вакууме вдвое меньше , а диэлектрическая проницаемость . Число узлов здесь достаточно для . Численное решение МОПИ получено за итераций с точностью . При этом решение МКЧП с тем же получено с точностью на шесть порядков выше . Знаменатели сходимости , , сходимости МОПИ слабая.

Проведенные численные исследования подтвердили зависимость от параметра знаменателя сходимости МОПИ и МКЧП .В условиях ухудшения сходимости при , то есть увеличения и уменьшения , преимущество МКЧП усиливается.

Рассмотрим рассеяние на диэлектрике с затуханием. Для комплексного значения оптимального параметра и радиуса сходимости МОПИ в этом случае получены аналитические формулы, которые здесь не приведены в силу их громоздкости. Ниже приведены лишь численные значения, рассчитанные по этим формулам, что не искажает основное содержание работы, посвященной методу МКЧП.

На рис. 17 (а) представлен спектр оператора перехода для и , то есть задача близка к представленной на рис 3(а). Для данной задачи также , но . Оптимальный параметр для МОПИ определяется как пересечение серединного перпендикуляра к отрезку и окружности, проведенной через точку 1 и концы отрезка и представлен здесь же на рисунке. При этом радиус сходимости МОПИ близок к тому, что было в вещественном случае. Решение МОПИ получено за итераций с точностью . Решение МКЧП с тем же получено с точностью на порядок выше . Знаменатели сходимости , меньше, но близки к тем, что были в вещественном случае ввиду еще небольшого угла между векторами и .

В задаче рис. 17 (б) диэлектрическая проницаемость , остальные параметры аналогичны задаче рис. 3 (б). Решение МОПИ получено за итераций с точностью . При этом решение МКЧП с тем же получено с точностью на два порядка выше . Знаменатели сходимости , .

В задаче рис. 17(в) диэлектрическая проницаемость , число узлов сетки . Решение МОПИ получено за итерацию с точностью . При этом решение МКЧП с тем же получено с точностью по невязке поля на пять порядков выше . Диэлектрик с чистыми потерями, существенно лучший результат МКЧП соответствует здесь , и случаю слабой сходимости МОПИ. При этом асимптотический знаменатель метода МКЧП (15) существенно меньше, чем знаменатель МОПИ [6] , что и обеспечивает за итерацию выигрыш более, чем в пять порядков по точности.

а) б)

в) г)

Рис. 17. Спектральные картины , чебышевские параметры и оптимальный параметр МОПИ для диэлектрика с потерями: (а) , (б) , (в) , (г)

Максимальный по выигрышу машинных ресурсов в пользу МКЧП результат получаем для плазмы с потерями на рис. 17 (г). Здесь и это соответствует случаю и также (см. выше) существенно меньше, чем . При отношение минимально для . За итераций достигнута соответственно точность и .

В целом, как и в вещественном случае, преимущества МКЧП хорошо проявляются при слабой сходимости.

2.4. Итерационные нестационарные методы вариационного типа

Методы вариационного типа называются так потому, что основаны на минимизации некоторых функционалов, таких как, например, функционал ошибки, невязки, отношение Рэлея.