Унитарное пространство

Комплексное линейное пространство называется унитарным, если каждой паре векторов поставлено в соответствие вещественное число , называемое скалярным произведением, причем выполнены следующие аксиомы и произвольного комплексного числа :

Черта означает комплексное сопряжение. Из первой и второй аксиом следует

6. Матрицы и операторы в евклидовом (унитарном) векторном пространстве

Матричные операции. Треугольная матрица. Матрица перестановок. Вырожденная и обратная матрицы. Положительно определенная матрица. Сопряженность. Транспонирование. Сопряженная матрица. Самосопряженная (эрмитовая) матрица. Нормальная матрица. Подобная матрица. Матрица простой структуры.

Матрица − это совокупность вещественных или комплексных чисел, расположенных в виде таблицы

Здесь , − элементы матрицы.

Матрица называется прямоугольной, если . Частный случай − квадратная матрица при .

Если , то это одностолбцевая матрица размера , вектор-столбец из элементов. При это однострочная матрица размером , вектор строка из элементов.

Пусть – мерное векторное пространство, – мерное векторное пространство. Линейный оператор, действующий из в можно определить с помощью матрицы из строк и столбцов.

Пусть − базис пространства , а – базис пространства .

Оператор действует из в , : → . При воздействии оператора на й элемент базиса получаем вектор . Его й элемент в базисе : . Разложение его по базису

Пусть элемент , а его образ. Разложим элементы по своим базисам: , . Установим связь , где - матрица, то есть определим элементы этой матрицы.

Таким образом, каждый оператор в базисе однозначно задаётся матрицей.

И свойства оператора, и свойства матрицы идентичны.

Говорят об изоморфизме матрицы и оператора, если сумма элементов матричного пространства соответствует сумме элементов в пространстве операторов, а умножение на число в одном линейном пространстве соответствует умножению на число в другом пространстве.

,

Множество линейных операторов изоморфно множеству матриц.

Равенство матриц означает, что их размеры равны и их элементы равны

Суммой матриц одинакового размера называется матрица такого же размера такая, что её элементы суть

Произведение матрицы на число есть матрица, элементы которой

(число умножается на все элементы матрицы).

Произведение прямоугольных матриц возможно не всегда, а только, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. То есть результатом умножения матрицы , размером на матрицу размером есть матрица размером

, ,

Операция сложения матриц коммутативна и ассоциативна.

Операция умножения матриц, вообще говоря, не коммутативна, но ассоциативна.

Операция умножения коммутативна для, так называемых, коммутативных (перестановочных) матриц.

Операция умножения ассоциативна и дистрибутивна.

Множество прямоугольных матриц размера образуют линейное пространство размера .

В множестве квадратных матриц (при ) всегда определены две операции: умножение и сложение. Умножение некоммутативно. Также определена обратная матрица (если исходная невырожденная). Множество квадратных матриц образует некоммутативное кольцо. Множество перестановочных матриц образует кольцо.

Матрица перестановок – это матрица, у которой в каждой строке и каждом столбце присутствует один элемент, равный единице. Например,

При умножении прямоугольной матрицы справа или слева на матрицу перестановок переставляются соответственно столбцы или строки.

Для любой матрицы перестановок:

, то есть

Произведение матриц перестановок одного порядка есть снова матрица перестановок. Множество матриц перестановок одного порядка есть конечная группа матриц по умножению, которая образует линейное пространство.

Верхние и нижние треугольные матрицы:

Если , то это строго верхняя треугольная матрица, если же , то это строго нижняя треугольная матрица.

Множество треугольных матриц одной размерности образуют линейное пространство.

Вырожденная матрица:

Квадратная матрица называется вырожденной, если её определитель равен нулю: .

Матрица невырождена тогда и только тогда, когда строки и столбцы линейно независимы. В этом случае существует обратная матрица, обозначаемая , для которой выполняется

Квадратная матрица, действующая в Евклидовом пространстве , называется положительно определенной, если выполняется

Аналогично вводятся отрицательно определенные, неотрицательно и неположительно определенные матрицы.

Если матрица положительно определенная, то:

· Все главные миноры положительны;

· Все коэффициенты характеристического многочлена отличны от нуля и имеют чередующиеся знаки;

· Все собственные значения имеют положительные вещественные части.

Заметим, что это лишь необходимые, но не достаточные условия положительной определенности матрицы. Ниже приводятся необходимые и достаточные условия положительной определенности для эрмитовой матрицы.

Лемма. Для положительной определенности матрицы необходимо (но не достаточно, в том числе для эрмитовой матрицы!), чтобы все диагональные элементы матрицы были положительны:

Доказательство леммы.

Из положительной определенности матрицы следует, что для любого вектора положителен функционал . В качестве вектора возьмем вектор с одной ненулевой компонентой на -ом месте . Тогда . Откуда и следует . Лемма доказана.

Операция транспонирования переводит матрицу в транспонированную , для которой

при этом элементы матрицы и для квадратной матрицы симметричны относительно главной диагонали.

есть сопряженный оператор Евклидового пространства , если для любых элементов этого пространства выполняется

Матрица сопряжённого оператора есть сопряженная матрица , для которой также . В вещественном случае - это транспонированная матрица. В комплексном случае это комплексно-сопряжённая матрица.

Сопряжённая матрица для суммы матриц есть сумма сопряжённых матриц

Сопряжённая матрица для умножения матрицы на число:

Здесь комплексно сопряженное число возникает из свойств скалярного произведения в комплексном случае

Матрица (оператор) называется самосопряжённой, если:

Вещественная самосопряженная матрица является симметричной матрицей (относительно главной диагонали).

В комплексном случае самосопряженная матрица (оператор) называется эрмитовой и для нее

Эрмитовая матрица имеет вещественное спектральное множество и полную систему собственных векторов.

Критерий Сильвестра. Для положительной определенности самосопряженной (эрмитовой) матрицы необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы были положительными.

Tеорема. Для положительной определенности самосопряженной (эрмитовой) матрицы необходимо и достаточно, чтобы все ее собственные числа были положительные.

Доказательство:

1) Достаточность. Пусть собственные числа положительны: и расположим их в порядке возрастания:

Так как матрица самосопряженная, то существует базис из ее собственных векторов и любой вектор конечномерного векторного пространства может быть разложен по этому базису

,

В результате умножения матрицы на вектор получаем

Учитывая , имеем

,

так как все собственные числа положительные, что и требовалось доказать для положительной определенности матрицы.

2) Необходимость. Пусть (то есть для любого скалярное произведение ) Возьмем в качестве последовательность собственных векторов матрицы и для каждого элемента этой последовательности получаем

Теорема доказана.

Следствие 1. Для самосопряженной (эрмитовой) положительно определенной матрицы и любого ненулевого вектора существует такая положительная константа , что .

В краткой записи , такая что )

Действительно,

Таким образом, для симметричной, положительно определенной матрицы , где - наименьшее собственное число матрицы .

Следствие 2. Для самосопряженной (эрмитовой) положительно определенной матрицы и любого ненулевого вектора функционал Рэлея находится в пределах , где и - соответственно наименьшее и наибольшее собственное число матрицы .

Действительно,

В обратную сторону неравенство доказано выше.

Вещественная матрица называется кососимметричной, если .

Любую вещественную матрицу можно представить как сумму двух матриц: симметричной () и кососимметричной ():

, причем , а

Доказательство:

Пусть ,

Покажем, что . Действительно

Покажем, что . Действительно

Нормальная матрица (оператор). Для нее, по определению, выполняется

Если матрица нормальная, то она имеет полную систему собственных векторов в мерном пространстве (базис из собственных векторов), где размерность матрицы.

Преобразованием подобия произвольной квадратной матрицы называется преобразование , где матрица - произвольная невырожденная квадратная матрица того же размера. Матрица , полученная в результате преобразования подобия, и матрица называются подобными.

Подобные матрицы имеют одни и те же собственные значения, одинаковый след и определитель.

Две матрицы подобны тогда и только тогда, когда они в разных базисах соответствуют одному и тому же оператору, действующему в одном пространстве.

Матрица простой структуры [1]размерности есть матрица, которая имеет полную систему собственных векторов. То есть собственных векторов матрицы простой структуры линейно независимы и образуют базис в мерном векторном пространстве. В противном случае матрица называется дефектной.

Матрица имеет простую структуру тогда и только тогда, когда она подобна диагональной матрице.

Если все собственные значения матрицы попарно различны, то она имеет простую структуру (верно ли обратное?).

Таким образом, простейшая матрица простой структуры есть диагональная матрица. Её собственными векторами являются элементы фундаментального базиса , где 1 стоит на -ом месте, а собственные числа – диагональные элементы . Если диагональная матрица теплицева, то собственное число одно, а фундаментальные вектора образуют базис из собственных векторов.

Для матрицы простой структуры верна аналогичная теорема о положительной определенности и следствия из нее.

Tеорема. Для положительной определенности матрицы простой структуры необходимо и достаточно, чтобы все ее собственные числа были положительные.

Следствие 1. Для положительно определенной матрицы простой структуры и любого ненулевого вектора существует такая положительная константа , что .

Следствие 2. Для положительно определенной матрицы простой структуры и любого ненулевого вектора функционал Рэлея находится в пределах , где и - соответственно наименьшее и наибольшее собственное число матрицы .

Нормальная матрица – частный случай матрицы простой структуры, самосопряженная (эрмитовая) матрица – частный случай нормальной матрицы.