Эргодичность по отношению к среднему значению случайного процесса

x(t) – стационарный случайный процесс.

Вопрос: как найти среднее значение по одной реализации?

- среднее по времени от "к"-й реализации.

, или нет? (<x> - средний по стат. ансамблю.) (*)

Для гарантии сходимости (*) для всех "к" к значению <x>, рассмотрим случайную величину

(2.6.3)

Определение: Говорят, что случайный процесс x(t) обладает эргодическим свойством относительно среднего значения, если среднее по времени (2.6.3) при T → ∞ сходится к среднему по стат. ансамблю.

- оценка среднего статистического значения.

(2.6.4)

Сам процесс называется эргодическим.

Вопрос: Каким дополнительным условиям должен удовлетворять стационарный случайный процесс, чтобы быть эргодическим по отношению к среднему в среднеквадратическом смысле.

;

={ }=

={ } {якобиан обратных преобразований равен 1}=

(2.6.5) (дисперсиная оценка функции),

- симметричная функция.

Из (2.6.5) следует:

Необходимое и достаточное условие эргодичности:

(2.6.6)

Замечание: Чтобы проверить, является ли статистический случайный процесс эргодическим по отношению к среднему квадратичному, нужно знать его ковариантную функцию.

Достаточное условие эргодичности Слуцкого:

(2.6.6')

(2.6.6'') – достаточное условие для выполнения условия (2.6.6)

Если , то и некоррелированы.