 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число d , то средняя арифметическая от этого не изменится
|
|
Это свойство показывает, что средняя зависит не от абсолютных размеров весов, а от соотношения между ними. Поэтому в качестве весов могут выступать не только абсолютные, но и относительные величины структуры. Увеличивая или уменьшая в одинаковой степени частоты всех вариант, мы не изменяем удельного значения каждой отдельной варианты в ряду.
Эти свойства средней арифметической могут быть использованы для облегченного расчета средней арифметической вариационного ряда распределения способом моментов.
Условным моментом наз. средняя арифметическая из отклонений отдельных значений признака от постоянной величины. Если средняя рассчитывается из отклонений первой степени, то получаем момент первого порядка (m1):
Вычисление средней из вариационного ряда способом моментов можно рассмотреть на примере:
| Средняя з/плата | Число рабочих (f) | x-a (a=135) | 
| 
|
| -20 | -2 | -8 | ||
| -10 | -1 | -20 | ||
| +10 | +1 | +16 | ||
| -12 |
В качестве постоянного числа "а" обычно принимают значение признака с наибольшей частотой, а в качестве постоянного числа "А" величину интервала группировки. В нашем примере а = 135, А = 10. Тогда^
руб.
руб.
Средняя гармоническая - величина обратная средней арифметической. Применяют ее для решения задач определенного типа, когда характер исходных данных не позволяет воспользоваться формулой средней арифметической.
Рассмотрим расчет средней гармонической на примере:
Три предприятия отрасли выпускают однотипное изделие, но себестоимость у них разная. В этих условиях необходимо определить среднеотраслевую себестоимость изделия. В отчетном периоде на I предприятии выпущено 1500 изделий с себестоимостью 1,8 руб. (2700), на втором - 2000 изделий с себестоимостью 1,75 руб. (3500) и на третьем 1800 изделий с себестоимостью 1,9 руб. (3420). Когда известно количество произведенной продукции и ее с/с, то расчет средней по группе предприятий себестоимости можно произвести по средней арифметической взвешенной, используя в качестве весов количество произведенной продукции.
Следовательно, чтобы воспользоваться формулой средней арифметической взвешенной для расчета себестоимости, необходимо знать варианты и их частоты.
Однако нередки случаи, когда количество произведенных деталей неизвестно, а известны затраты на производство и себестоимость единицы по каждому предприятию. В этом случае, в качестве весов можно использовать не количество деталей, а затраты на производство. Следовательно, для расчета средней по отрасли с/с нельзя воспользоваться средней арифметической. По имеющимся данным, расчет средней по отрасли с/с будет выглядеть так:
Если общую сумму затрат на производство обозначить через (
), а себестоимость единицы - варианты признака через /x /, то чтобы получить среднюю по отрасли себестоимость, необходимо сумму затрат но трем заводам / 
/ разделить на количество выпущенных изделий (
). А формула расчета в общем виде будет выглядеть так: 
Это формула средней гармонической взвешенной. Средняя гармоническая может быть не только взвешенной, но и простой, если удельные веса всех признаков одинаковы или равны единице. Тогда формула средней гармонической примет вид:
На практике средняя гармоническая применяется часто для расчета среднего процента выполнения плана (когда известны фактический выпуск продукции и процент выполнения плана). Например:
Предприятия Фактическое выполнение Процент выполнения
плана / млн.руб./ плана
1 125 105
2 180 90
3 330 110
Средний процент выполнения плана по трем предприятиям вместе взятым определим используя формулу средней гармонической:
Из этих примеров видно, что к средней гармонической прибегают в тех случаях, когда в качестве весов применяется не единицы совокупности, а произведения варианты на частоту / 
/. Следовательно, средняя гармоническая используется в расчетах тогда, когда численность совокупности неизвестна, а варианты взвешиваются объемом признака.
Методику расчета средней геометрической и средней хронологической мы рассмотрим при изучении раздела "Ряды динамики"'. Расчет среднего квадратического отклонения - при изучении показателей вариации.
Достоинством средней как обобщающего показателя является то, что она одной величиной характеризует целую совокупность различных величин. Но для всесторонней характеристики совокупности, а также для решения некоторых практических задач нужны такие обобщающие показатели, которые характеризуют особенности распределения единиц совокупности по величине изучаемого признака. В статистике для характеристики структуры совокупности применяют показатели особого рода - моду и медиану, которые называются структурными средними.
МОДА. Модой в статистике называется величина признака, которая чаще всего встречается в совокупности. Обозначается этот показатель Mо.
Определение моды в дискретных и интервальных рядах распределения производится различно.
Определение моды по данным дискретного ряда распределения не вызывает затруднений и не связано с дополнительными расчетами. Например, выработка рабочих характеризуется следующими данными:
Колич. деталей 30 31 34 35
Число рабочих 15 18 20 22 =75
Наибольшее число раз встречается выработка 35 деталей. Следовательно, эта выработка и будет модальныы значением признака.
Может быть распределение, при котором все варианты встречаются одинаково часто, в этом случае моды нет. В других случаях не одна, а две варианты имеют наибольшую частоту. Например:
Колич. деталей 30 31 34 35
Число рабочих 15 18 20 20
В этом случае выделяют две моды 34 и 35, а распределение называют бимодальным.
Однако при наличии двух значений мода необходимо обратить внимание на качественную характеристику совокупности. Бимодальное распределение указывает на качественную неоднородность признака в совокупности.
Нахождение моды в интервальных рядах распределения имеет свои особенности. Непосредственно по данным вариационного ряда можно выявить не моду, а лишь модальный интервал, т.е. интервал, имеющий наибольшую частоту, в пределах которого и находится мода.
В качестве приближенного значения моды в интервальных рядах распределения может быть принята середина модального интервала. Но подобное решение правомерно только при полной симметричности распределения или тогда, когда частоты модального и соседних с ним интервалов или равны или мало отличаются друг от друга.
Для уточненного расчета моды в интервальных рядах распределения используют формулу: 
где: 
- минимальная граница модального интервала,
- величина модального интервала,
- частота модального интервала,
- частота интервала, предшествующего модальному,
- частота интервала, следующего за модальным.
Допустим распределение рабочих бригада по стажу работы характеризуется следующими данными:
Стаж работы до 3 лет 3-6 6-9 9-12 12-15
Число рабочих 20 17 27 32 24
Наибольшую частоту имеет интервал 9-12 - он и будет модальныминтервалом. Чтобы определить моду подставим значения в формулу
Приближенное значение моды легко определить графически. Для этого строят гистограмму распределения. Находят интервал с наибольшей частотой и смежные интервалы. Затем из углов соединения смежных интервалов с модальным проводят прямые в угол столбика с максимальной частотой. Из точки пересечения на ось X опускают перпендикуляр, который покажет величину близкую к моде.
Необходимо отметить, что по приведенной формуле моду можно вычислить только в применении к интервальным рядам, построенным с равными интервалами. Если вариационный ряд имеет интервалы неравные, то предварительно определяют плотность распределения, а затем на основе этих данных находят модальный интервал и моду.
Мода является наиболее распространенной и в этом смысле наиболее типичной величиной в распределении. Но мода и средняя величина по-разному характеризуют совокупность.
Мода определяет непосредственно размер признака, свойственнный хотя и значительной части, но не всей совокупности. Поэтому мода по своему обобщающему значению уступает средней, которая характеризует совокупность в целом, так как складывается под воздействием всех без исключения единиц совокупности.
Мода находит широкое применение в различных областях экономики, Исчисление модальной производительности труда, себестоимости дает возможность экономисту судить о преобладающем в данный момент уровне этих показателей. Мода в статистике используется в тех случаях, когда невозможно рассчитать средние размер признака. Например, когда нельзя рассчитать средние цены, по которым реализуется товары на колхозном рынке. Очень часто используют моду в товароведной практике при изучении спроса и выявлении наиболее "ходовых" размеров обуви, одежда, головных уборов и т.д. Но чтобы определение мода не носило случайный характер, ее используют только в совокупностях большой численности.
М е д и а н о й (Me) - называется варианта, которая находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд пополам, по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности. В ранжированном ряду медианой будет центральный член ряда. Например, дневной заработок каждого из 7 рабочих составил (в рублях) 5,0 5,0 6,0 6,5 7,0 8,0 8,5. Медианой в данном ряду распределения будет четвертая варианта - дневной заработок рабочего - 6,5 руб. До и после этого значения размещено равное число членов ряда.
В тех случаях, когда ряд распределения состоит из четного числа членов, медиана будет равна средней арифметической из двух значений признака, расположенных в середине ряда.
Например: 5,0 5,0 6,0 6,5 7,0 8,0 9,0
Таким образом, чтобы определить медиану в ранжированном ряду, необходимо, прежде всего, подсчитать число членов ряда. Для определения порядкового номера варианты, которая делит ряд пополам, необходимо к числу случаев прибавить единицу и полученную сумму разделить пополам.
Например: За час работы рабочие цеха изготовили деталей: 3,3,4,5, 5, 5, 6.. ---- 25,25, 25, 26. Всего изготовлено 85 единиц.
Следовательно, 43 варианта будет медианой ((85+1)/2= 43). Находим эту варианту в ранжированном ряду и ее значение будет Me.
Приведенный пример вычисления медианы относится к несгруппированным данным.
На практике чаще всего медиану определяют для совокупности, представленной в виде ряда распределения.
Чтобы определить медиану в дискретном вариационном ряду, необходимо прежде всего найти порядковый номер варианты, которая разделит ряд пополам. Для этого сумму частот 
делят пополам и к полученному результату добавляют 1/2. Медианой будет варианта с порядковым номером 
.
Так, если воспользоваться данными, которые были приняты для расчета Ме в дискретном ряду, то определение Me будет выглядеть так:
Колич. деталей 30 31 34 35
Число рабочих 15 18 20 22
Сумма частот равна 75 (15 + 18 + 20 + 22*). Медианой будет 38 варианта (
), имеющая размер признака равного 34.
Чтобы определить медиану в интервальном вариационном ряду вначале определят медианный интервал, накопленная частота которого равна или превышает половину частот, а затем рассчитывают медиану, используя следующую формулу:
,
где Me - медиана,
ХМе - начальная (нижняя) граница медианного интервала,
- величина медианного интервала,
- сумма частот ряда,
- частота медианного интервала,
- сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному.
Рассчитаем, в качестве примера, медиану по данным распределения рабочих по стажу работы.
Стаж работы до 3 лет 3-6 6-9 9-12 12-15
Число рабочих 20 17 27 32 24 = 120
Половина суммы накопленных частот = 60. Следовательно, по данным этого примера медианным будет интервал со значением стажа работы 6-9 лет (сумма накопленных частот 20 + 17 + 27 = 64). До этого интервала сумма накопленных частот составит 37. При определении значения Me исходят из предположения, что значение признака в границах интервала распределяется равномерно.
Следовательно, 60 варианта будет иметь значение признака равное 8,55 года.
Медиану используют в качестве средней величины в тех случаях, когда нет уверенности в однородности изучаемой совокупности, когда варьирующий признак изменяется в широких пределах, а средняя арифметическая будет находится под влиянием крайних значений. На медиану эти значения влияния не оказывают.
Медиану иожно определить графическим способом / график /. Для этого на график наносят ряд накопленных частот, т.е. строят кумуляту. Затем находят среднюю варианту и проводят из этой точки горизонтальную линию до пересечения с кумулятой. Из точки пересечения опускают на ось X перпендикуляр и определяют значение Me. Величина Мо и Me, как правило, отличается от величины средней, совпадая с ней только в случае симметрии вариационного ряда.
В нашем примере 
Мо = 10,2
Me = 8,55
Соотношение этих трех величин указывает направление и степень ассиметричности распределения.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 1899 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
