Постановка задач дисперсионного анализа

В практической деятельности встречаются объекты исследования, состояние которых определяется входными факторами, не имеющими количественного описания. Такими факторами могут быть переменные, которые по каким-либо причинам не доступны для измерения, однако, их уровни варьирования можно произвольно выбирать и фиксировать во времени. Например, на качество изготавливаемой продукции могут влиять следующие факторы: комплектующие, которые могут поступать от разных поставщиков, производственное оборудование однотипных производственных участков, технология изготовления, конкретные работники различных участков и смен.

Постановка задач дисперсионного анализа предполагает известным:

Отклик системы Y зависит от k независимых управляемых факторов , не имеющих количественного описания.

Каждый фактор может варьироваться на уровнях.

Полный факторный эксперимент состоит из серий независимых наблюдений.

Каждая j-тая серия содержит наблюдений параллельных опытов.

Требуется определить меру влияния каждого фактора на отклик системы Y и выделить наиболее существенные факторы.

Дисперсионный анализ базируется на следующих допущениях:

Результаты измерений выходного сигнала Y – нормально распределенные случайные величины.

Дисперсия единичного наблюдения обусловлена случайными ошибками и постоянна во всех опытах и не зависит от сочетания входных факторов.

В качестве показателя влияния фактора x принимают дисперсию фактора, то есть дисперсию выходной величины, обусловленную вариацией данного входного фактора:

, где .

Сравнение дисперсий и соответствует сравнению влияния фактора x и фактора случайности . Величина считается известной, в противном случае ее оценка совпадает с оценкой воспроизводимости. Результаты экспериментов позволяют вычислить оценку выборочной дисперсии:

.

Если отличие от незначительно, то влияние фактора несущественно, иначе – существенно. Дисперсия фактора может быть оценена по следующей формуле:

= - , так как = + .

Дисперсионный анализ основан на разложении оценки общего рассеивания выходного сигнала на составляющие: зависящие от факторов и зависящие от случайных величин.