Точечное и доверительное оценивание параметров распределения

Оценка – значение исследуемого параметра, вычисленная по выборке. Оценка является случайной величиной, так как она вычисляется по выборке, объединяющей случайные результаты измерений. Свойства оценок определяются видом закона распределения исследуемой генеральной совокупности. Каждая оценка соответствует определенному параметру генеральной совокупности. Наиболее часто оценивают следующие параметры:

- математическое ожидание генеральной совокупности;	- оценка математического ожидания;
- дисперсия генеральной совокупности;	- оценка дисперсии.

Существует два вида оценок: точечные и интервальные. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии имеют вид:

; .

Коэффициент корреляции между двумя выборками вычисляют по формуле: .

Точечные оценки менее информативны, чем интервальные. Например, точечная оценка не дает информации о степени близости оценки к соответствующему параметру .

Интервальное оценивание имеет целью построение интервалов, в которых с заданной степенью достоверности должны оказаться оцениваемые параметры. Такой вид оценки требует задания величины особого вероятностного параметра – доверительной вероятности – р. Этот параметр рекомендуется задавать из стандартного ряда: 0.8, 0.9, 0.95, 0.98, 0.99, 0.995. Границы доверительного интервала определяют из следующего соотношения:

,

где - нижняя и верхняя границы доверительного интервала, - оцениваемый параметр. Оценка называется двухсторонней, если рассчитываются две границы, или односторонней, если рассчитывается одна граница, а вторая – считается бесконечной. Значения границ рассчитывают на основе величины доверительной вероятности или уровня значимости: q=1-p.

Интервальные оценки математического ожидания и дисперсии для нормальных генеральных совокупностей оценивают на основе следующих соотношений:

,

,

,

где , , , - квантили стандартного нормального, Стьюдента и хи-квадрат распределений соответственно, , , , -доверительная вероятность. Если необходима односторонняя оценка, то приведенные двойные неравенства преобразуются в односторонние неравенства, а параметр . Геометрическая интерпретация процесса расчета величины симметричного доверительного интервала приведена на рис.26.

Рис.26. Расчет величины доверительного интервала.

Свойства доверительного интервала:

Увеличение доверительной вероятности p приводит к увеличению доверительного интервала , при постоянстве прочих параметров.

Увеличение количества опытов N сужает доверительный интервал , при постоянстве прочих параметров.

Двойственность трактовки доверительного интервала: , где – вероятность того, что точное значение оцениваемого параметра будет накрыто доверительным интервалом, - вероятность того, что случайная оценка попадет в заданный интервал.

Положение границ доверительного интервала таково, что длина его минимальна для заданной доверительной вероятности p.