Дифференцирование сложной функции

Пусть и - дифференцируемые функции. Тогда сложная функция есть также дифференцируемая функция, причем

.

Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих.

Рассмотрим несколько примеров нахождения производной сложной функции.

Пример 1.

Положим , где .

Тогда

.

Пример 2.

.

Обозначим . Тогда .

По правилу дифференцирования сложной функции имеем:

.

Пример 3.

.

Обозначим . Тогда .

По правилу дифференцирования сложной функции имеем:

= .

Пример 4.

.

Положим . Тогда .

.

Пример 5.

.

Если , то . Следовательно

.

Пример 6.

.

Положим , где , а .

Получаем

= .

Пример 7.

<1.

Если то , следовательно,

Выполним алгебраические преобразования и получим окончательно

.

Пример 8.

Имеем

Найти производные следующих сложных функций: