Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Рассмотрим отдельно класс динамических систем вида:
, (5.74)
где вектор на временном интервале может принимать кусочно-постоянные значения. В теории дифференциальных уравнений модели вида (5.42) принято называть уравнениями с разрывной правой частью. К этому классу можно отнести, например, электрические цепи, находящиеся под действием ЭДС в форме прямоугольных импульсов, – периодические системы, преобразователи энергии со скачкообразно изменяющимися параметрами и структурой линейной модели и др. При оптимальном управлении по критерию максимального быстродействия (минимума времени переходного процесса) вектор управления также изменяется в виде сигналов прямоугольной формы, и для найденных моментов переключения переходный процесс может определяться с помощью приведенных ниже аналитических зависимостей. Наконец, часто нелинейные системы могут анализироваться как кусочно-линейные. При этом их динамические свойства описываются линейными дифференциальными уравнениями вида (5.42) с различными матрицами , и элементами вектора для различных участков (временных интервалов) рабочего цикла систем.
Расчет переходных процессов в системах рассматриваемого класса состоит в решении матричного линейного дифференциального уравнения (5.42) в общем виде отдельно для каждого участка процесса, на котором это уравнение справедливо. Связь решений на соседних участках (временных интервалах) осуществляется на границах с помощью векторов начальных условий. Значения переменных состояния в конце первого участка служат начальными условиями второго участка и т.д.
Техника решения состоит в следующем.
Предположим, что временной интервал можно разделить на участков (не обязательно равной продолжительности).
На первом участке , где , в уравнении (5.42) , и вектор входных сигналов – вектор-столбец, содержащий постоянные элементы. Уравнение
(5.75)
должно решаться при известном векторе начальных условий .
Решение в матричной форме имеет вид:
(5.76)
По окончании первого интервала
.
Конечное значение (правую границу решения на первом участке) считаем равным начальному условию на втором участке:
, то есть (5.77)
Заметим, что основные переменные состояния (токи через индуктивности и напряжения на емкостях) не могут изменяться скачком, согласно первому и второму законам коммутации. Поэтому будет соблюдаться равенство (5.45). В момент переключения параметры и структура динамической системы могут изменяться скачком. Поэтому матрицы состояния, управления и вектор входных сигналов запишем с индексом «2»: , , . При этом предполагается, что элементы матриц на втором участке в последующем до не изменяются. Переходный процесс определим по формуле:
(5.78)
В конце второго интервала
.
Для связи решений на границе второго и третьего участков необходимо правую границу второго участка приравнять левой границе третьего участка, то есть:
, (5.79)
и решать аналогичную задачу с учетом изменившихся скачком параметров системы на границе , то есть системы с матрицами , и вектором .
Таким образом, переходный процесс на -ом участке определится с помощью уравнения:
, (5.80)
где (5.81)
есть левая граница решения (считаем направление оси времени слева – направо), а вектор-столбец
(5.82)
– правая граница, являющаяся левой границей для решения матричного уравнения на участке .
Решение линейного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях и известном внешнем воздействии является единственным. Поэтому, продолжая решение по аналогии до -го участка включительно, мы получим единственное значение на правой границе, а также единственное значение вектора состояния в любой интересующий нас момент на всем рабочем временном интервале , где .
Описанная процедура решения известна в теории управления как метод припасовывания. Метод широко используется для определения как переходных процессов, так и периодических решений (автоколебаний и вынужденных колебаний) в нелинейных системах.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 392 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!