Многомерный процесс

В этом случае задается функция плотности вероятности f(x), опре­деляемая для вектора переменных x = {xⁱ}; . Рассматривается опера­тор с₂ (m), определяемый с помощью элементов вектора x:

(1.49)

Вектор m ₂,минимизирующий диагональные элементы оператора с₂ (m), определяется как среднее (или математическое ожидание) вектора x в смысле l ₂ -нормы. Он вычисляется с помощью интеграла

Если m = m ₂, то оператор (1.49) представляет собой ковариацию вектора x в смысле l ₂-нормы, которую можно обозначить в виде C ₂:

(1.50)

Заметим, что диагональные элементы C ₂ равны дисперсиям (квадра­там стандартных отклонений), которые ранее обозначались как :

Свойства ковариации (при норме l ₂ ) приведены в классической ра­боте Пугачева B.C.:

a) свойство симметрии -

b) C ₂ является неотрицательно определенной - для любого вектора x

c) если C ₂ положительно определена, то для любого вектора x величина имеет свойства нормы. Она определяется как весо­вая l₂ -норма вектора x;

d) корреляционные коэффициенты определяемые по формуле , обладают следующим важным свойством - ;

e) плотность вероятности

где N - размерность вектора x, нормализуется со средним значением х ₀ и ковариационным оператором с₂ [39].

Среди всех плотностей вероятностей с заданной нормой l ₂ оператора ковариации, функция Гаусса соответствует минимуму информации (т.е. функция имеет максимум при минимуме показателя степени экспоненты).

Остановимся теперь на обобщении процесса с нормальным распре­делением. Среди всех нормированных плотностей вероятности по норме l_р оцениватель дисперсии

единственный удовлетворяет условию минимума информации. Эта плот­ность представляется уравнением

(1.51)

где Г(·) есть гамма-функция [42].

Задаваясь различными значениями p, можно построить обобщенную характеристику, изменяющую форму в зависимости от нормы. B частности, если p = 1

и - симметричная экспонента, центрированная при со сред­ним отклонением s₁. Для р = 2

есть функция Гаусса со стандартным отклонением s₂. Для p = ¥

Функция имеет прямоугольную форму, центрированную при с размахом, равным s_¥. Функция нормирована к единице.

Функцию (1.51) называют также обобщенным гауссианом, т.к. она генерирует семейство функций, содержащих в своем составе функцию Га­усса. Отметим, что приведенные выше функции часто используются для моделирования распределений ошибок. Введение обобщенного гауссиана способствует некоторому расширению возможности выбора распределе­ний для оценки погрешностей сигналов в измерительных средствах судо­вых энергетических комплексов.

Большое практическое применение получили оцениватели по норме p= 1. Для такой оценки мы предлагаем эффективный алгоритм, основанный на выборе минимальных составляющих вектора погрешностей, получен­ных на начальной стадии решения с помощью изложенного выше метода наименьших квадратов.

Если в критерии (1.47) предположить симметрию относительно т_р и перейти от интеграла к дискретным оценкам, приняв за основу уравнение измерителя в форме (1.49), то критерий каче­ства примет следующий вид:

(1.52)

где p ³ 1. Если р = 2, то J ₂ (х) естъ корень квадратный из суммы квадратов остатков, так что минимизация J ₂ (x) эквивалентна наилучшей оценке по методу наименьших квадратов.

Статистические свойства средней амплитудной и среднеквадратической оценок можно интерпретировать следующим образом. Среднеквадратическая оценка соответствует определению среднего квадрата множества измерений, в то время как оценка по критерию L ₁ - нахождению среднего значения множества измерений. Использование среднего значения в про­цедуре оценивания состоит в нахождении n (число переменных состояния) остатков, равных нулю, и (m – n)ненулевых остатков (т — число измере­ний). При этом предполагается, что, в общем, каждое измерение может подвергаться воздействию шума Гаусса. Использование весовых факторов изменяет дисперсию шума измерений, так что в целом система измерений может рассматриваться как имеющая шумовую составляющую, представ­ляемую распределением Гаусса со смешанной дисперсией. Для распреде­лений Гаусса со смешанными дисперсиями, а также для негауссовских распределений среднее амплитудное оценивание дает хорошие практиче­ские результаты. Это утверждение основывается на целом ряде работ, где проблема минимизации линейного критерия качества решалась с помощью симплекс-метода, являющегося основным методом поиска оптимума в ли­нейном программировании [19].