Розв’язок 2 і еквівалентність розв’язків обох типів

У цьому підході явно з самого початку враховується те, що при обиранні альтернатив ОПР повинна керуватися бажанням отримати можливо більші значення як функції, що максимізується, так і функції належності нечіткої множини припустимих альтернатив.

Для цього в означення розв’язку включають лише ті альтернативи, які в задачах багатокритеріальної оптимізації називаються ефективними за Парето.

Нагадаємо, що альтернатива називається ефективною за двома функціями та , якщо при будь-якій іншій альтернативі з нерівностей й випливають рівності й .

Інакше, якщо – ефективна альтернатива для функцій та на множині Х, то обиранням будь-якої альтернативи не можна збільшити (порівняно з та ) значення однієї функції, не зменшивши при цьому значення іншої.

У задачі прийняття рішень з декількома критеріями множина ефективних альтернатив пропонується ОПР як її можливі раціональні вибори.

Отже, нехай Р – множина всіх ефективних альтернатив для функцій та , що розглядаються у задачі нечіткого математичного програмування.

О з н а ч е н н я 5.3. Розв’язком задачі НМП зветься нечітка множина з функцією належності

(5.9)

У цьому визначенні явно припускається, що ОПР повинна використовувати у своєму розв’язанні лише ті альтернативи універсальної множини Х, які дають одночасно неполіпшувані значення функцій та .

Відповідно розв’язку 2 нечітке значення функції записується у вигляді:

. (5.10)

Має місце така теорема, що встановлює зв'язок між розв’язками обох типів.

Т е о р е м а 5.1[ ]. Якщо множина Х компактна, функція неперервна на Х, а функція напівнеперервна зверху на Х, то при кожному виконується рівність

. (5.11)

Згідно означенню 5.3. знаходження розв’язку 2 зведено до визначення множини ефективних альтернатив для функцій та . Однак, ця множина включає, у загальному випадку, нескінченну кількість елементів, і її побудова являє собою достатньо складну задачу.

Разом з тим, для отримання розв’язку 2 у конкретній задачі практично достатньо, щоб була вказана скінченна кількість ефективних альтернатив, рівномірно обраних із множини Р.

Для відшукування таких альтернатив можна скористатися таким фактом.

Якщо для деяких чисел альтернатива доставляє максимум функції на множині Х, то ця альтернатива є ефективною для функції та .

Таким чином, надаючи різні додатні значення ваговим коефіцієнтам функцій та і максимізуючи відповідні функції F (x) можна визначити будь-яку необхідну кількість ефективних альтернатив.

Отримані при цьому альтернативи разом з відповідними значеннями функцій та надаються ОПР, яка й робить остаточний вибір із них, виходячи із своїх суб’єктивних уявлень (або використовуючи інформацію, яка не врахована у даній математичній моделі) про відповідну важливість значень функції та степені допустимості альтернатив.