Кривые над полем характеристики 2

Пусть основное поле K = F _q с q = 2 ⁿ при . В этом случае j -инвариант кривой вычисляется по формуле Условие j (E) = 0, то есть a ₁ = 0, в характеристике 2 равносильно суперсингулярности кривой E, а такие кривые в криптографии не используются поэтому полагаем что j (E) ¹ 0.

В этих предположениях представитель любого класса изоморфизма эллиптических кривых над F _q записывается уравнением

E: Y ² + XY = X ³ + a ₂ X ² + a ₆,

где и Здесь γ – фиксированный элемент поля F _q, удовлетворяющий соотношению: .

Формулы группового закона: – P ₁ = (x ₁, y ₁ – x ₁) если P ₃(x ₃, y ₃) = P ₁ + P ₂ ¹ O, то

где при x ₁ ¹ x ₂

а при x ₁ = x ₂ ¹ 0

В проективных координатах формулы сложения точек эллиптической кривой, заданной уравнением

E: Y ² + XYZ = X ³ + a ₂ X ² Z ⁴ + a ₆ Z ⁶,

над полем характеристики p = 2 выглядят как

где тройка координат вычисляется последовательно по правилу:

Координаты удвоенной точки определяются по правилу:

Сжатие точек эллиптической кривой над полем характеристики 2.

Дана точка P(x, y) на эллиптической кривой. Если y = 0, то можно положить b = 0. В противном случае вычисляют z = y / x и присваивают переменной b самый младший двоичный разряд числа z. Для восстановления y по данной паре (x, b) в случае x ¹ 0 вычисляют

и обозначают через β одно из решений уравнения z ² + z = α.

Если наименьший двоичный разряд числа β совпадает с b, то y = xβ. В противном случае y = x (β – 1).