Эллиптические кривые

Проективная плоскость P²(K) над полем K определяется как множество троек (X, Y, Z) не равных одновременно нулю элементов X, Y, Z Î K, на котором введено отношение эквивалентности:

(X, Y, Z) ~ (lX, lY, lZ) для любых l Î K ^*.

Так, например, две точки (4, 1, 1) и (5, 3, 3) эквивалентны в P²(F ₇).

Класс эквивалентности троек называется проективной точкой.

Эллиптической кривой E называется множество точек проективной плоскости, удовлетворяющих однородному уравнению Вейерштрасса

E: F (X, Y, Z) = – X ³ + Y ² Z + a ₁ XYZ – a ₂ X ² Z + a ₃ YZ ² – a ₄ XZ ² – a ₆ Z ³ = 0,

c a_i Î K.

Это уравнение называют также длинной формой Вейерштрасса. Кривая должна быть неособой в том смысле, что частные производные не должны обращаться в нуль одновременно ни в одной ее точке.

Множество K-рациональных точек кривой E (то есть точек, удовлетворяющих уравнению кривой) обозначается через E (K).

Кривая имеет только одну точку, чья координата Z = 0, а именно (0, 1, 0). Ее принято называть бесконечно удаленной точкой (или точкой на бесконечности) и обозначать символом O.Для удобства часто пользуются аффинной версией уравнения Вейерштрасса:

E: Y ² + a ₁ XY + a ₃ Y = X ³ + a ₂ X ² + a ₄ X + a ₆, c a_i Î K.

K-рациональные точки в аффинном случае – это решения уравнения в K ² и бесконечно удаленная точка O.

Переход от аффинных к проективным координатам:

- точка на бесконечности всегда переходит в бесконечно удаленную точку, как при переходе от аффинных координат к проективным, так и наоборот;

- проективная точка (X, Y, Z) кривой, отличная от бесконечно удаленной (Z ¹ 0), переходит в аффинную точку с координатами (X/Z, Y/Z);

- чтобы найти проективные координаты аффинной точки (X, Y), не лежащей на бесконечности, достаточно выбрать произвольное значение Z Î K ^* и вычислить (X·Z, Y·Z, Z).

Иногда удобнее пользоваться модифицированной формой проективной плоскости, когда проективные координаты (X, Y, Z) представляют аффинную точку (X/Z ², Y/Z ³).

Для эллиптической кривой вводятся следующие константы:

Дискриминант кривой E определяется по формуле

Если char K ¹ 2, 3, то дискриминант можно вычислить и так:

Деление на 1728 = 2⁶3³ имеет смысл только в тех полях, чья характеристика отлична от 2 и от 3. Кривая E неособа тогда и только тогда, когда . Далее рассматриваются только неособые кривые.

Для неособых кривых вводится j -инвариант

он тесно связан с понятием изоморфизма эллиптических кривых.

Говорят, что кривая E с координатами X и Y изоморфна над полем K кривой E’ с координатами X’, Y’ (обе заданы уравнением Вейерштрасса), если найдутся такие константы r, s, t Î K и u Î K ^*, что при замене переменных

X = u ² X’ + r, Y = u ³ Y’ + su ² X’ + t

кривая E перейдет в кривую E’. Отметим, что изоморфизм кривых определен относительно поля K. Изоморфизм эллиптических кривых является отношением эквивалентности.

Лемма. Изоморфные над полем K кривые имеют один и тот же j -инвариант. С другой стороны, любые кривые с совпадающими j -инвариантами изоморфны над алгебраическим замыканием поля K. То есть j -инвариант разделяет классы эквивалентности отношения изоморфизма над алгебраическим замыканием поля K.