Теория метода и описание установки. Одним из экспериментальных методов определения моментов инерции тел является метод крутильных колебаний

Одним из экспериментальных методов определения моментов инерции тел является метод крутильных колебаний. Этим методом можно определить момент инерции любого тела, имеющего не только правильную, но и неправильную форму, момент инерции которого рассчитать трудно (зубчатое колесо с отверстиями, отливка и др.).

Крутильные колебания возникают, если тело, подвешенное на упругой проволоке (рис. 3.1), повернуть на некоторый угол j и отпустить. В проволоке появляются упругие силы, направленные в сторону, противоположную углу поворота. Возникает момент сил, пропорциональный углу поворота и стремящийся вернуть тело в положение равновесия:

M = – k j,

(3.1)

где – коэффициент упругости подвеса.

Если пренебречь силами трения, то из основного закона динамики вращения (см. выражение (2.5) в лабораторной работе № 2) будем иметь

I e = – k j,

(3.2)

где I – момент инерции висящего на проволоке тела относительно оси крутильных колебаний.

Так как величина возвращающего момента сил прямо пропорциональна смещению j от положения равновесия, то возникающие крутильные колебания будут гармоническими и угол поворота j(t) будет периодической функцией времени:

j = j m cos (w t + a0),

(3.3)

где j _m – амплитуда колебаний, т.е. максимальное значение угла поворота j; w – циклическая частота колебаний, связанная с периодом T соотношением

;

(3.4)

a₀ – начальная фаза колебаний.

Угловое ускорение тела, как известно, может быть определено как вторая производная от угла поворота по времени:

.

(3.5)

Произведя двойное дифференцирование выражения (3.3) и подставив значения j и e в (3.2), можно получить связь между угловой частотой крутильных колебаний тела и коэффициентом упругости подвеса:

.

(3.6)

Заменив в этом уравнении w через период колебаний T и измерив его, можно определить момент инерции подвешенного тела, если известен коэффициент упругости k:

.

(3.7)

Если же значение коэффициента упругости проволоки неизвестно, то его можно исключить, написав аналогичное уравнение для другого тела – правильной формы, момент инерции I ₀ которого легко рассчитать:

.

(3.8)

Здесь k имеет то же значение, что и в выражении (3.6), если тело с неизвестным моментом инерции I подвешено на том же подвесе.

Приравнивая правые части выражений (3.6) и (3.8), легко получить уравнение, дающее возможность найти момент инерции тела любой формы по рассчитанному значению I ₀ и двум периодам колебаний T ₀ и T, которые определяются измерениями. В качестве тела с известным моментом инерции в нашей работе взято кольцо, момент инерции которого рассчитывается по его массе т и размерам:

,

(3.9)

где R ₁ – внутренний радиус, а R ₂ – внешний радиус кольца.

Расчётное значение момента инерции кольца (3.9) получено интегрированием выражения, которое определяет момент инерции сплошного тела

.

(3.10)

В случае кольца элемент массы dm выбирается в виде бесконечно тонкого колечка произвольного радиуса r (рис. 3.2), и интегрирование ведётся в пределах от R ₁ до R ₂. Масса элемента dm прямо пропорциональна объёму dV колечка и плотности r материала, из которого изготовлено кольцо:

dm = r (2p rdrb),

(3.11)

где b – толщина кольца. Подставляя в (3.10) это выражение, получаем

.

(3.12)

После несложных преобразований, выделив здесь массу кольца как произведение его объёма на плотность, получим формулу (3.9).

Установка для проведения измерений представляет собой стойку с кронштейном, на котором закреплена стальная проволока длиной около метра. К нижнему концу проволоки прикреплена лёгкая платформа, моментом инерции которой пренебрегаем, так как он очень мал по сравнению с инертностью эталонных колец и исследуемого тела. На платформе симметрично относительно оси проволоки могут размещаться либо тело произвольной формы, либо кольца разных размеров. Для фиксации положения тела в симметричном положении по проволоке можно перемещать лёгкую пробку. В основание стойки ввёрнуто три винта, с помощью которых стойка устанавливается вертикально – так, чтобы проволока с подвешенным к ней грузом была параллельна стойке.