Этап IV

При управлении производством принимать решения очень часто приходится не имея достаточной информации, т.е. в условиях неопределённости и риска.

Методами обоснования решений в условиях неопределённости и риска занимается математическая теория игр.

В теории игр рассматриваются такие ситуации, когда имеются два участника выполнения операции, каждый из которых преследует противоположные цели. В качестве участников могут выступать коллективы, конкурирующие предприятия и т.д. Во всех случаях предполагается, что операция проводится против разумного противника (конкурента), преследующего свои собственные цели и сознательно противодействующего достижению цели другим участником.

Так как цели противоположны, а результат мероприятия каждой из сторон зависит от действий конкурента, то эти действия называют конфликтными ситуациями. В конфликтной ситуации сталкиваются противоположные интересы двух участников. Формализованная (схематизированная) модель конфликтной ситуации называется игрой. Результаты игры – победа или поражение, которые не всегда имеют количественное выражение, можно выразить (условно) числами (например, в шахматах: 1, 0, 1/2).

Игра называется игрой с нулевой суммой, если один из игроков выигрывает ровно столько, сколько проигрывает другой.

Развитие игры по времени представляется как ряд последовательных «ходов». Ходы могут быть сознательные и случайные. Случайный ход – результат, получаемый не решением игрока, а каким-либо механизмом случайного выбора (покупательский спрос, задержка с поставкой материалов и т.п.). Сознательный ход – выбор игроком одного из возможных вариантов действий (стратегии) и принятие решения об его осуществлении.

Возможные варианты (исходы) игры сводятся в прямоугольную таблицу – платёжную матрицу, в которой строки соответствуют различным стратегиям игрока А, столбцы – стратегиям игрока В, q_{i j} называется ценой игры.

Цель теории игр – выработка рекомендаций для различного поведения игроков в конфликтной ситуации, т.е. выбор оптимальной стратегии для каждого из них.

Пусть задана матрица игры

.

Для оптимальной стратегии первого игрока и цены игры u выполняется неравенство , или (разделив на u) , обозначая , получим:

Так как первый игрок стремится получить максимальный выигрыш, то он должен обеспечить минимум величине 1/u. С учётом этого определение оптимальной стратегии сводится к нахождению минимума функции

при условиях

.

Аналогично определение оптимальной стратегии второго игрока сводится к нахождению максимума функции

при условиях

,

где z_j /u.

Таким образом, чтобы найти решение данной игры по матрице А, нужно составить следующую пару двойственных задач и найти их решение.

Прямая задача ; .

Двойственная задача ; .

Используя решения пары задач, можно выявить оптимальные стратегии и цену игры:

.

Итак, решение игры с использованием методов линейного программирования включает этапы:

1) составляют пару двойственных задач, эквивалентных данной игре;

2) определяют оптимальные планы двойственных задач;

3) находят решение игры по соотношениям между планами задач, оптимальными стратегиями и ценой игры.

Дано: У предприятия (сторона А) имеется три стратегии(три варианта организации реинжиниринга бизнес-процессов), у конкурирующего предприятия (сторона Б) две стратегии. Известны вероятностные выигрыши сторон при использовании ими той или иной стратегии. Таким образом, платежная матрица для стороны А имеет вид:

	А1	А2	А3
В1	0,1	0,5	0,8
В2	0,7	0,9	0,2

Седловой точки в рассматриваемой конфликтной ситуации нет. Требуется найти смешанную стратегию деятельности каждой из конфликтующих сторон.

	В1	В2
А1	0,1	0,7
А2	0,5	0,9
А3	0,8	0,2

Прямая задача: Двойственная задача:

min L=x1+x2+x3 max L=y1+y2

0,1x1+0,5x2+0,8x3≥1 0,1y1+0,7y2≤1

0,7x1+0,9x2+0,2x3≥1 0,5y1+0,9y2≤1

x1,x2,x3≥0 0,8y1+0,2y2≤1

y1,y2≥0

x⁰=(0;0, 97;0,65) y⁰=(1,13;0,48)

Оптимальные стратегии:

(0,7;0,3)

=(0;0,6;0,4)

Цена игры:

Microsoft Excel 10.0 Отчет по результатам
Рабочий лист: [4.xls]Лист1
Отчет создан: 15.12.2008 19:23:53
Целевая ячейка (Минимум)
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$A$2	целевая функция		1,612903226
Изменяемые ячейки
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$E$2	х1
	$F$2	х2		0,967741937
	$G$2	х3		0,645161289
Ограничения
	Ячейка	Имя	Значение	Формула	Статус	Разница
	$A$4	целевая функция		$A$4>=1	связанное
	$A$5	целевая функция	1,000000001	$A$5>=1	связанное
	$A$6	целевая функция		$A$6>=0	связанное
	$A$7	целевая функция	0,967741937	$A$7>=0	не связан.	0,967741937
	$A$8	целевая функция	0,645161289	$A$8>=0	не связан.	0,645161289

Microsoft Excel 10.0 Отчет по результатам
Рабочий лист: [4.xls]Лист2
Отчет создан: 15.12.2008 19:25:10
Целевая ячейка (Максимум)
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$A$2	целевая функция	1,61290322	1,61290322
Изменяемые ячейки
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$E$2	у1	1,12903226	1,12903226
	$F$2	у2	0,483870961	0,483870961
Ограничения
	Ячейка	Имя	Значение	Формула	Статус	Разница
	$A$8	целевая функция	0,483870961	$A$8>=0	не связан.	0,483870961
	$A$7	целевая функция	1,12903226	$A$7>=0	не связан.	1,12903226
	$A$4	целевая функция	0,451612898	$A$4<=1	не связан.	0,548387102
	$A$5	целевая функция	0,999999995	$A$5<=1	связанное
	$A$6	целевая функция		$A$6<=1	связанное

Выводы по четвертому этапу:

Для максимизации выигрыша сторона А будет применять свои три стратегии с вероятностью =(0;0,6;0,4);

Для минимизации своего проигрыша конкурирующая сторона В будет применять свои две стратегии с вероятностью (0,7;0,3);

Значение данного этапа в реинжиниринге бизнес-процессов велико, так как позволяет рассчитать приоритетность, относительную привлекательность стратегии или нескольких стратегий с позиции экономической целесообразности и текущей рыночной или контрактной ситуации. В данном случае нам ставилось в задачу определить какие из указанных выше стратегий одной стороны стоит принять во внимание при проведении экономической политики в отношении другой или наоборот.