Дифференциал функции. Пусть функция в точке x0 имеет производную

Пусть функция в точке x ₀ имеет производную. По определению:
= (x ₀), поэтому по свойствам предела (разд. 1.8) = f (x ₀) + a, где a – бесконечно малая при Dx ® 0. Отсюда

Dy = (x ₀) Dx + a × Dx. (2.7)

При Dx ® 0 второе слагаемое в равенстве (2.7) является бесконечно малой высшего порядка, по сравнению с Dx: = a = 0, поэтому Dy и (x ₀)× Dx – эквивалентные, бесконечно малые (при (x ₀) ¹ 0).

Таким образом, приращение функции Dy состоит из двух слагаемых, из которых первое (x ₀)× Dx является главной частью приращения Dy, линейной относительно Dx (при (x ₀) ¹ 0).

Дифференциалом функции f (x) в точке x ₀ называется главная часть приращения функции и обозначается: dy или df (x ₀). Следовательно,

df (x ₀) = (x ₀)× Dx. (2.8)

Пример 1. Найти дифференциал функции dy и приращение функции Dy для функции y = x ² при:

1) произвольных x и Dx; 2) x ₀ = 20, Dx = 0,1.