Дифференцирование функций, заданных неявно. Логарифмическое дифференцирование

Пусть переменные x, y связаны между собой некоторым уравнением

F (x, y) = 0, (2.1)

причем y является функцией от x, тогда говорят, что функция y задана неявно уравнением (2.1).

Например, уравнение y ³ – 5 x ² – 3 x = 0 задает неявно функцию y, которую можно из этого уравнения выразить через x явно: y = .

Уравнение x ² + y ² = a ² неявно задает две функции:

y = и y = – .

Однако не всегда, функции, заданные неявно могут быть выражены явно через элементарные функции. Так, из уравнения y + x = 2sin y, которое неявно задает функцию y, нельзя выразить y явно через элементарные функции.

Как найти y' для функции, заданной неявно, уравнением (2.1)? Для этого надо найти производные по x от обеих частей этого уравнения, помня, что y – функция от x и приравнять эти производные. Из полученного уравнения найти y'.

Например, найдем y' для функции, заданной неявно уравнением x ² + y ² = a ²:

(x ² + y ² = (a ² , 2 x + 2 y × y' = 0,

отсюда y' = – .

Применим этот метод для нахождения производной для показательно-степенной функции y = u (x) ^{v (x)}, где u (x) > 0, u (x), v (x) – дифференцируемые функции.

Прологарифмируем равенство y = u^v, получим: ln y = v ×ln u. Дифференцируем полученное равенство: y' = v' ×ln u + v × × u', откуда y' = y (v' ×ln u + v × × u'), подставляя сюда y = u^v, имеем: y' = u^v ×ln u × v' + v × u^{v– 1}× u'.

Этот прием нахождения производной называется логарифмическим дифференцированием.

Пример. y = x ^{sin x} , (x > 0). Найти y'.

Решение. ln y = sin x ×ln x, (ln y) ' = (sin x ×ln x) ', × y' = cos x ×ln x + sin x × ,
y' = x ^{sin x} (cos x ×ln x + sin x × ) или y' = x ^{sin x} cos x ×ln x + sin x × x ^{sin x – 1}.