Бесконечно большие функции, их свойства и связь с бесконечно малыми функциями

Функция F (x) называется бесконечно большой (сокращенно б.б.) при x ® +¥
(при x ® -¥), если для любого положительного числа K существует число x ₀, такое, что для всех x > x ₀ выполняется неравенство: | F (x)| > K.

Функция F (x) называется бесконечно большой при x ® x₀ (при x ® x ₀–0 или
x ® x ₀+0), если для любого K > 0 существует d > 0 такое, что для любого
x Î(x ₀ – d, x ₀ + d), (" x Î(x ₀ – d, x ₀) или " x Î(x ₀, x ₀ + d) соответственно) выполняется неравенство | F (x)| > K.

Очевидно, что всякая бесконечно большая функция не является ограниченной при
x ® a, а потому F (x) не существует.

Если F (x) – б.б. функция при x ® a, то говорят, что F (x) стремится к бесконечности и пишут: F (x) = ¥. Если при этом F (x) > 0, то пишут: F (x) = +¥; если же F (x) < 0, то пишут: F (x) = -¥.

Пример 1. F ₁(x) = x ² является б.б. при x ® +¥ и x ® -¥, причем F ₁(x) > 0, поэтому можно записать: x ² = + ¥, x ² = + ¥.

Пример 2. F ₂(x) = является б.б. при x ® 0, причем

F ₂(x) = +¥, а F ₂(x) = - ¥.

Следующие две теоремы устанавливают связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

Теорема 1. Если функция F (x) является б.б при x ® a, то функция – б.м. при x ® a.

Доказательство. Пусть F (x) – б.б. при x ® x ₀–0, покажем, что – б.м. при
x ® x ₀–0. Зафиксируем произвольное e > 0 и покажем, что найдется d > 0 такое, что для всех x Î(x ₀ – d, x ₀) выполняется неравенство: | | < e.

По определению функции б.б. при x ® x ₀–0 для числа K = найдется такое d > 0, что " x Î(x ₀– d, x ₀) будет выполняться неравенство: | F (x)| > , откуда < e для
x Î(x ₀ – d, x ₀), т.е. – б.м. при x ® x ₀ –0.

Теорема 2. Если a (x) – б.м. при x ® a и a (x) ¹ 0, то – б.б. при x ® a.

Доказательство. Доказательство аналогично предыдущему.

Теоремы 1 и 2 позволяют получить свойства б.б. функций, аналогичные свойствам б.м. функций.

Свойство 1. Если F ₁(x), F ₂(x) – б.б. при x ® a, то функция F ₁(x), F ₂(x) – б.б. при x ® a.

Свойство 2. Если F ₁(x), F ₂(x) – б.б. функции при x ® a, причем F ₁(x) > 0 и
F ₂(x) > 0 (т.е. F ₁(x)=+¥, F ₂ (x) = + ¥), то функция F ₁(x) + F ₂(x) – б.б. при x ® a.

Свойство 3. Если F (x) – б.б. при x ® a и число C ¹ 0, то CF (x) – б.б. при x ® a.

Замечание. Если F ₁(x) и F ₂(x) – б.б. функции при x ® a, но имеют разные знаки, то F ₁(x) + F ₂(x) может быть как б.б., так и б.м. при x ® a, как иметь предел при x ® a, так и не иметь его.