Бесконечно-малые функции и их свойства

Функция a (х) называется бесконечно малой (сокращенно: б.м.) при х ® а
(х + ¥, х ® –¥, x ® x ₀ – 0, х ® x ₀ + 0), если a (х) = 0.

Используя определение предела фикции при х ® +¥, можно перефразировать этог определение: функция a (х) называется бесконечно малой при х ® +¥, если для любого положительного числа e найдется такое число x ₀ что для всех х, больших x ₀, выполняется неравенство: | a (х)| < ε.

Символически это выглядит так: ε > 0 x ₀ (| (х)| < ε).

Аналогично формулируются определения б.м. при x ® +¥, х ® x ₀, и т.д.

Пример 1. Функция a (х) = является б.м. при и (см. разд. 1.4, пример 3).

Пример 2. Покажем, что a (х)= б.м. при .

Действительно, неравенство выполняется для всех х, которые удовлетворяют неравенству , т.е.

Докажем некоторые теоремы о б.м. функциях.

Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых функций (при ) является б.м. функцией (при ).

Доказательство. Проведем доказательство для случая . Пусть – б.м. при , покажем, что функция является б.м. при , т.е. . Зафиксируем произвольное положительное ε. Так как – б.м. при , то по числу найдется такое, что для всех выполняется неравенство:

. (*)

Аналогично для по числу найдется , такое, что для всех выполняется неравенство:

. (**)

Пусть x ₀ – большее из чисел и тогда для любого выполняются оба неравенства (*), (**), поэтому .

Учитывая, что , получаем:

, т.е. – б.м. при .

Пример 3. Функция является б.м. при , так как каждое слагаемое является б.м. при (см. примеры 1, 2).

Для дальнейшего нам потребуется понятие ограниченности функции.

Функция f (x) называется ограниченной на некотором множестве М, если существует такое положительное число К, что для всех М выполняется неравенство: .

Пример 4. Функция sin x и cos x ограничены на множестве R всех действительных чисел, так как и .

Пример 5. Функция tg x не является ограниченной на интервале , так как она может принимать любые значения при .

Будем говорить, что функция f (x) ограничена при (), если она ограничена на некотором бесконечном интервале () (или ()). Аналогично, функцию f (x)называют ограниченной при (), если она ограничена на некоторой окрестности () точки (на правой полуокрестности () или на левой полуокрестности () соответственно).

Теорема 2. Если существует f (x), то функция f (x) ограничена при х а.

Доказательство. Проведем доказательство для случая .

Пусть f (x) = b. Тогда на основании определения предела для ε = 1 найдется такое δ > 0, что для всех x, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство: | f (х) – b | < 1. Так как по свойству абсолютных величин | f (х) – b |, то

, откуда | f (х) | < | b | + 1.

Это и означает, что f (х) ограничена на интервале () (в качестве К взято число | b | + 1).

Следствие 1. Любая б.м. функция при является ограниченной при .

Теорема 3. Если существует и он отличен от нуля, то ограничена при .

Доказательство. Пусть f (x) = b 0. Зафиксируем положительное число ε, такое, что ε < . На основании определения предела при :

.

Так как

, то и .

Следовательно, . Здесь К = . Теорема доказана.

Теорема 4. Произведение б.м. функции (при х а) на функцию, ограниченную (при х а)является функцией б.м. (при х а).

Доказательство. Пусть функция (х) – б.м. при , и пусть f (х) – ограничена при , т.е. найдутся числа К > 0 и x ₁, такие, что для любого х > х ₁ выполняется неравенство:

. (!)

Зафиксируем произвольное ε > 0 и покажем, что найдется x ₀, такое, что .

По определению б.м. при , для числа найдется такое x ₂, что для всех
х > х ₂, выполняется неравенство:

. (!!)

Пусть – наибольшее из чисел х ₁, х ₂. Тогда для х > x ₀ одновременно выполняются неравенства (!), (!!), поэтому

,

т.е. f (х) (х) –б.м. при . Теорема доказана.

Следствие 2. Произведение функции б.м. при на число является функцией б.м. при .

Следствие 3. Произведение двух б.м. функций есть функция б.м. (при ).

Замечание. Если ₁(х), ₂(х) – б.м. при , то может быть б.м. при , а может и не быть. Так, для функций ₁(х) = и ₂(х) = , б.м. при , функция не является б.м. при , а функция является б.м. при .