Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Цель: формирование умения находить радиус и интервал сходимости степенных рядов.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
& 41.1.Выучите определение степенного ряда. Сформулируйте определение радиуса сходимости степенного ряда. Выясните, какова техника его нахождения.
& 41.2. Проанализируйте, в каких случаях для вычисления радиуса сходимости степенного ряда l удобно искать по формуле l = , а в каких – по формуле – l = . Внимательно изучите примеры, позволяющие находить радиус сходимости степенного ряда.
i41.3. Найдите радиус сходимости степенного ряда:
а) ; б) ; в) ;
г) ; ¶д) .
Выполнив задание i41.3. и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы, Вы откроете фамилию математика – автора теоремы:
Памятник учёному |
Его работы в теории рядов фундаментальны. Огромное число понятий и теорем в различных областях математики носит его имя. За свою короткую жизнь этот учёный сделал важнейшее для науки открытие: доказал, что алгебраические уравнения степени выше четвёртой в общем случае неразрешимы в радикалах.
На его родине знаменитому математику установлен необычный памятник. По круто поднимающейся гранитной глыбе молодой человек с одухотворённым лицом шагает ввысь, переступая через два отвратительных чудовища. Что они символизируют? Одни математики, шутя, говорят, что они изображают уравнения пятой степени и эллиптические функции, побеждённые учёным. Другие утверждают, что скульптор воплотил в образе чудовищ социальную несправедливость. Именно с ней всю жизнь боролся учёный. Только в этой трактовке автор памятника погрешил против истины: не математик победил эти чудовища, а они погубили его…
Фамилия математика – автора теоремы:
а) | б) | в) | г) | ¶д) |
Карта ответов:
Э | У | Е | Р | Т |
И | А | В | Й | Ь |
Л | М | Н | Б | О |
& 41.4.Выучите определение интервала сходимости степенного ряда. Выясните, какова техника его нахождения.
?41.5. Найдите интервал сходимости степенного ряда:
а) ; б) ; в) ; г) ; ¶д) .
Методические указания по выполнению работы:
Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:
Функциональный ряд вида , членами которого являются степенные функции аргумента х, называется степенным ( – действительная переменная, действительные числа , , ,…, ,… - коэффициенты степенного ряда ).
Радиусом сходимости R степенного ряда называется неотрицательное действительное число или + (0 R + ), удовлетворяющее условиям: при всех x, для которых | | < R степенной ряд сходится; при всех х, для которых | | > R, степенной ряд расходится.
Если степенной ряд сходится лишь в одной точке , то его радиус сходимости равен 0: R =0.
Если степенной ряд сходится при всех действительных значениях переменной (во всех точках числовой оси), то его радиус сходимости равен + : R = + .
У любого степенного ряда есть радиус сходимости, найти который позволяет следующая теорема.
Теорема: Если для степенного ряда существуют конечные или бесконечные пределы или , равные l, то радиус сходимости степенного ряда находится по формуле:
R = .
Заметим, что находить l можно, фактически осуществляя ту же последовательность действий, что и в алгоритмах, предназначенных для исследования сходимости положительных рядов по признакам Даламбера и Коши. При этом роль общего члена положительного ряда будет играть коэффициент степенного ряда.
Рассмотрим примеры нахождения радиуса сходимости степенного ряда.
Пример 1. Найдите радиус сходимости степенного ряда .
Решение. Радиус сходимости степенного ряда будем искать по формуле: R = . Поскольку коэффициент степенного ряда содержит выражение , то для нахождения l применим формулу: l = , аналогичную формуле признака Даламбера. Фактически воспользуемся соответствующим алгоритмом. Для этого:
1. найдём коэффициент : = ;
2. найдём коэффициент : = = ;
3. найдём отношение коэффициентов : = : = = = = .
Таким образом, получим l = = = = = = = =9.
Следовательно, так как R = , а l= 9, то R = .
Ответ: R = .
Если для степенного ряда l =0, то его радиус сходимости R равен + : R = + .
Если для степенного ряда l =+ , то его радиус сходимости R равен 0: R = 0.
Пример 2. Найдите радиус сходимости степенного ряда .
Решение. Радиус сходимости степенного ряда будем искать по формуле: R= . Поскольку коэффициент степенного ряда представляет собой n – ую степень выражения : , то для нахождения l применим формулу: l = , аналогичную формуле признака Коши. Фактически воспользуемся соответствующим алгоритмом. Для этого:
1. найдём коэффициент : ;
2. найдём : .
Таким образом, получим .
Следовательно, если , то .
Ответ: .
Если R - радиус сходимости степенного ряда , то множество точек х, удовлетворяющих неравенству , называется интервалом сходимости I степенногоряда. Значит, если R – радиус сходимости степенного ряда , то его интервал сходимости находится следующим образом:
Пример 3. Найдите интервал сходимости степенного ряда .
Решение. Интервал сходимости степенного ряда определяется формулой: Выясним, чему равен радиус сходимости данного степенного ряда. Искать его будем по соотношению: . Для нахождения l применим формулу: l = , аналогичную формуле признака Даламбера. Фактически воспользуемся соответствующим алгоритмом. Для этого:
1. найдём коэффициент : ;
2. найдём коэффициент : ;
3. найдём отношение коэффициентов : .
Таким образом, получим (при раскрытии неопределённости использовали правило Лопиталя). Следовательно, так как , а , то .
Применяя формулу для нахождения интервала сходимости степенного ряда: , получим: .
Ответ: .
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский. - М.: Издательский центр "Академия", 2012. – 320с. – Глава 10, п.10.3, стр. 253 – 258.
2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 13, § 81, стр. 435-440.
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 503 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!