Теория вероятностей 4 страница

4)

Найти функцию распределения этой случайной величины . Вычислить вероятность того, что случайная величина примет значения из интервала

(-1; ); (0;1).

11. Случайная величина имеет распределение Рэлея с плотностью распределения вероятностей

Найти коэффициент с, считая заданным. Найти функцию распределения и числовые характеристики случайной величины .

12. Случайная величина имеет распределение.

1) Найти при ; 2) Найти плотность распределения и числовые характеристики случайных величин a) b) c) .

13. Пусть ~ распределение.

1) Что больше или ?

2) Найти ф.р. и п.р.в. случайной величины где

14. Найти абсциссы точек перегиба графика функции если имеет распределение. Найти и

15. Пусть имеет распределение. Найти п.р.в. и числовые характеристики с.в. a) , если b)

16. Функция распределения случайной величины имеет закон распределения арксинуса

.

Определить постоянные а и . Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины . Найти

17. Модуль вектора скорости молекулы газа есть случайная величина, распределенная по закону Максвелла с плотностью распределения вероятностей

Найти среднюю скорость и дисперсию величины скорости молекулы.

18. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения случайной величины имеющей плотность распределения вероятностей

§ 7. Случайные векторы

Задачи для самостоятельного решения

1. Производится один выстрел по мишени. Вероятность попадания в мишень равна . Рассмотрим случайный вектор где - число попаданий в мишень при этом выстреле, а - число промахов. Построить ряд распределения. Найти функцию распределения этого случайного вектора и маргинальные функции распределения. Проверить стохастическую независимость координат этого вектора. Найти числовые характеристики.

2. Случайный опыт - два независимых выстрела по мишени; вероятность попадания при каждом из выстрелов равна . Рассмотрим случайный вектор , где - число попаданий при j -ом выстреле Найти функцию распределения случайного вектора и маргинальные распределения. Проверить стохастическую независимость координат и найти числовые характеристики.

3. Случайный опыт G – два независимых бросания правильной игральной кости. Рассмотрим случайный вектор , где 1) - число очков при j- ом бросании, j =1,2; 2) -минимальное число очков при двух бросаниях, а - максимальное. Построить ряд распределения случайного вектора . Проверить стохастическую независимость, найти маргинальные распределения и числовые характеристики.

4.Случайный вектор - дискретного типа. Найти распределение суммы и произведения , если

а)

-1	0,1	0,2	0,1
	0,3	0,1	0,2

b)

x1
-1	0,125	0,375
	0,375	0,125

c)

	-1
	0,03	0,07
	0,15	0,35
	0,12	0,28

Найти также числовые характеристики и маргинальные распределения.

5.Случайный вектор имеет независимые компоненты и ~ , k =1,2. Найти a) распределение вероятностей с.в. ;

b) ; c) найти распределение вероятностей с.в. , предполагая, что

6. Пусть случайный вектор имеет независимые компоненты и ~ , . Доказать, что с.в. ~ . Найти , .

7. Случайный вектор имеет плотность распределения вероятностей 1) ,

2) Найти коэффициент , функцию распределения случайного вектора, найти маргинальные распределения и числовые характеристики. Проверить стохастическую независимость компонент данного вектора.

8. Случайный вектор . Найти плотность распределения вероятности случайного вектора и маргинальные плотности, если: 1) - квадрат с координатами вершин (-1;-1), (-1; 1), (1;-1), (1;1); 2) - квадрат с координатами вершин (-1;0), (0;1), (1;0), (0;-1); 3) - круг с центром в начале координат и радиусом равным 1.

9. Пусть случайный вектор имеет независимые компоненты и a) ; b) . Найти функцию распределения и плотность распределения вероятностей с.в. . В случае распределения b) найти и построить график плотности распределения вероятностей для

10. Пусть случайный вектор с независимыми компонентами имеет абсолютно непрерывное распределение вероятностей. Найти плотность распределения вероятностей с.в. a) ; b) ; c) ; d) . Найти тип распределения, если и . Найти числовые характеристики полученных с.в..

11. Найти распределение суммы , если и независимые с.в. и a) ; b) ; ; c)

12. Может ли заданная функция быть плотностью распределения вероятностей многомерного нормального распределения? Если да, то найти соответствующие параметры и . Найти также маргинальные распределения.

1) ;

2) ;

3) .

13. Записать плотность распределения вероятностей случайного вектора и найти функцию распределения, если -диагональная матрица.

14. Дана плотность распределения вероятностей случайного вектора : . Найти маргинальные распределения. Проверить стохастическую независимость компонент этого случайного вектора.

15. Доказать, что если компоненты случайного вектора независимы, причем для , то независимы с.в и .

16. Найти распределение вероятностей и числовые характеристики с.в. , если случайный вектор , где

a) b)

17. Пусть случайный вектор имеет независимые компоненты, причем Найти: a) ; b)

§8. Характеристическая функция случайной величины и случайного

вектора

Рассмотрим с.в. , наблюдаемую в опыте Ее распределение вероятностей однозначно определяется характеристической функцией ( х.ф.) , задаваемой равенством

, Она представляет преобразование Фурье меры и в двух частных случаях имеет вид:

А. , где - дискретная с.в..

B. , , где - абсолютно-непрерывная с.в..

Характеристическая функция с.в. обладает свойствами:

1.

2.

3. если стохастически независимы и

4. - непрерывна на всей числовой оси.

5. при если и .

Пример. Если то

Для случайного вектора можно ввести понятие характеристической функции по аналогии со скалярным случаем

Эта функция обладает свойствами аналогичными свойствам 1-5 скалярной характеристической функции.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти х.ф. типовых распределений и вычислить все начальные моменты.

2. С помощью свойств х.ф. найти законы распределения с.в. , где с.в. стохастически независимы, одинаково распределены и имеют a) нормальный закон распределения; b) закон распределения Коши; c) биномиальный закон распределения; d) закон распределения Пуассона.

3. Доказать, что с.в. имеет симметричное относительно нуля распределение тогда и только тогда, когда х.ф. вещественнозначна.

4. Могут ли следующие функции быть х.ф. некоторых с.в.: 1) ; 2) 3) ; 4) Если да, то найти соответствующее распределение.

5.На вероятностном пространстве , представляющем собой отрезок с -алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега, определена с.в. . Найти ее х.ф., если: ; .

6. Найти распределения, которым соответствуют следующие х.ф.: a) ;

b) ; c) d) ; e) ; f) ; g) .

§ 9 Предельные теоремы

Здесь мы будем рассматривать последовательности случайных величин, наблюдаемых в одном и том же опыте . Ограничимся случаем последовательности стохастически независимых с.в.

Классической для теории вероятностей является задача нахождения предельного распределения для последовательности сумм где

Сформулируем следующие предельные теоремы.

Теорема 1. (Закон больших чисел). Рассмотрим последовательность с.в., удовлетворяющих условиям:

1. - стохастически независимы;

2. ;

3. . Тогда

Теорема 2. (Центральная предельная). Рассмотрим последовательность с.в., удовлетворяющих условиям:

1. - стохастически независимы;

2. - одинаково распределены, ;

3. и

Тогда , где и - функция Лапласа.

Задачи для самостоятельного решения

1. Рассмотрим последовательность стохастически независимых и имеющих распределение с.в. 1) Подчиняется ли данная последовательность закону больших чисел, центральной предельной теореме? 2) Подчиняются ли закону больших чисел и центральной предельной теореме последовательности с.в. и , где , , ?

2. Складывается 10⁴ чисел, округленных с точностью до 10^{- m}. Предполагая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале , найти пределы, в которых с вероятностью, не меньшей 0,99, будет лежать суммарная ошибка.

3. Доказать, что при