Теория вероятностей 3 страница

т.е. в результате опыта одно и только одно из этих событий обязательно происходит. Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности

.

События часто называют гипотезами, а вероятности - априорными вероятностями гипотез. Формула Байеса

, где

дает возможность произвести пересчет вероятностей гипотез . Условные вероятности принято называть апостериорными вероятностями гипотез.

Условно задачи, решаемые по формулам, можно разбить на два типа. Задачи первого типа имеют дело с экспериментами, которые состоят из двух этапов и оба этапа случайны. Тогда в качестве событий, образующих разбиение , берут события, которые полностью описывают первый этап эксперимента.

Задача 1. Имеются три одинаковые с виду партии деталей. В первой, изготовленной заводом № 1, 5% брака, во второй, изготовленной заводом № 2, 3% брака, а в третьей (завод № 3) - 10% брака. Наугад выбирается одна из партий, а затем из этой партии наудачу выбирается одна деталь. Определить вероятность того, что она бракованная.

Решение. Первый этап опыта - выбор наудачу одной из трех партий деталей, второй - выбор наудачу детали из выбранной партии. Очевидно, что

события - выбрана партия деталей, изготовленная заводом , = 1, 2,3, образуют разбиение и вероятности Тогда вероятность выбрать бракованную деталь (событие А) по формуле полной вероятности будет равна

Задача 2. Вероятность для изделий некоторого производства удовлетворять стандарту равна 0,96. Предлагается упрощенная система испытаний, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту; а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, с вероятностью 0,05. Какова вероятность того, что изделие, выдержавшее испытание, удовлетворяет стандарту? Интересующая нас вероятность

Отсюда вывод: в том случае, когда упрощенная система испытаний дает положительный результат, деталь с вероятностью, близкой к единице, является стандартной. Другими словами, данная система контроля является хорошим "фильтром "для бракованных изделий.

В задачах второго типа появляются эксперименты, условия проведения которых точно не известны, но о них (условиях) можно сделать исключа- ющих друг друга предположений (гипотез).

Задача 3. Из сосуда, содержащего п шаров, берут наудачу один. Определить вероятность того, что он белый, если все предположения о первоначальном числе белых шаров равновозможны.

Решение. В задаче неизвестными для нас будут условия проведения выбора (число белых шаров в сосуде), относительно которых мы можем выдвинуть (п + 1) гипотезу , где означает i белых шаров в сосуде, i = 0,1,..., п. Так как по условию задачи гипотезы равновероятны, то, обозначив , получим

,

откуда . Тогда по формуле полной вероятности, вероятность со-

бытия (выбран белый шар из сосуда) равна

Задача 4. Из сосуда, содержащего п шаров, взяли наудачу один шар и он оказался белым. Какое предположение о количестве белых шаров наиболее вероятно, если до опыта все предположения о числе белых шаров были равновозможны?

Решение. Так же, как в задаче 3, априорные вероятности гипотез одинаковы и равны , i = 0,1,..., n. Известно, что опыт произвели и произошло событие А (выбранный наудачу шар оказался белым). Очевидно, что появление события изменяет шансы осуществления каждой из гипотез. Так, например, если до опыта гипотеза имела положительную вероятность, то после опыта она имеет нулевые шансы к осуществлению, то есть

Для ответа на вопрос задачи вспомним, что

Тогда то есть наиболее вероятной будет гипотеза - все шары белые, что интуитивно также ясно.

Задачи для самостоятельного решения

1. Пересчитать вероятности гипотез в задаче 4 стр.14 при =5.

2. Из полного набора костей домино наугад одна за другой берутся две кости. Определить вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой.

3. Из сосуда, содержащего 5 белых и 4 черных шара, был потерян один шар. После этого из сосуда наудачу выбран шар. Найти вероятность того, что выбранный шар окажется белым.

4. В ящике находятся 15 теннисных мячей, из которых 9 новых. Для первой игры наугад берутся три мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Затем для второй игры наугад выбираются три мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры, новые.

5. В сосуд, содержащий п шаров, опущен белый шар. Какова вероятность извлечь из этого сосуда белый шар, если все предположения о первоначальном числе белых шаров в сосуде равновозможны?

6. Имеется 10 карточек, на которых написаны числа 3,3,3,4,4,5,5,6,6,6. Две из этих карточек выбираются наугад одна за другой. Число, написанное на первой карточке, берется за числитель, на второй - за знаменатель дроби. Найти вероятность того, что дробь будет правильной.

7. Группа студентов, сдающих экзамен, состоит из 4 отличников, 10 хорошистов и 20 слабых студентов. Отличник всегда сдает экзамен на "5". Хорошист может получить "4" или "5" с равными вероятностями. Слабый студент может получить "4", "3" или "2" с равными вероятностями. Наудачу выбранный студент получил "4". Что вероятнее - это был хорошист или слабый студент?

8. Имеется n урн, в каждой из которых находится а белых и b черных шаров. Наудачу выбранный шар из первой урны перекладывается во вторую, затем из второй - в третью и т.д. После такого перекладывания из последней урны наудачу выбирается один шар. Найти вероятность того, что будет выбран белый шар.

9. По каналу связи может быть передана одна из трех последовательностей букв: АААА, ВВВВ, СССС, причем априорные вероятности каждой из последовательностей есть соответственно 0,3; 0,4; 0,3. Известно, что действие шумов уменьшает вероятность правильного приема каждой буквы до 0,6, а вероятность приема переданной буквы за любую другую становится равной 0,2 и 0,2. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что была передана последовательность АААА, если на приемном устройстве было получено - АВСА.

10. Из 18 стрелков пятеро попадают в мишень с вероятностью 0,8; семеро - с вероятностью 0,7; четверо - с вероятностью 0,6 и двое - с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

11. В техникуме студентов, из которых (k = 1,2,3) человек учатся k-й год. Среди двух наудачу выбранных студентов оказалось, что один из них учится больше второго. Какова вероятность того, что этот студент учится третий год?

§ 5. Схема Бернулли.

Испытания Бернулли - это независимых повторений некоторого опыта, в результате которого может произойти или не произойти некоторое событие, условно называемое "успехом", с одной и той же вероятностью р для каждого из повторений.

В принятой нами аксиоматике испытание – это некоторое вероятностное пространство. Тогда схема Бернулли строится следующим образом:

где Тогда

где

Вероятность того, что ровно k опытов из закончатся "успехом " будет

Пример. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен) три партии из четырех или пять из восьми?

Решение. Так как противники равносильны, то вероятность выигрыша и проигрыша каждой партии одинаковы и равны Тогда вероятность выиграть три партии из четырех

а вероятность выиграть пять партий из восьми

Так как , то вероятнее выиграть три партии из четырех.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Определить вероятность того, что в результате 10 независимых бросаний честной монеты герб появится: a) три раза; b) не более трех раз.

2. При раздаче колоды в 52 карты четырем игрокам один из них три раза подряд не получал тузов. Есть ли у него основание жаловаться на "невезение"?

3. Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину независимо друг от друга. Вероятности попадания мяча при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что: а) у обоих будет равное число попаданий; б) у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго.

4. Произведено 20 независимых испытаний, каждое из которых заключается в одновременном бросании трех монет. Найти вероятность того, что хотя бы в одном испытании появятся три герба.

5. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Какова вероятность того, что сообщение из 10 знаков: a) не будет искажено; b) содержит ровно три искажения; c) содержит не более трех искажений? Предполагается, что знаки передаются независимо друг от друга.

6. Событие B наступает в том случае, если событие A появится не менее трех раз. Определить вероятность появления события B, если вероятность появления события А при одном опыте равна 0,3 и произведено: a) 5 независимых опытов; b) 7 независимых опытов.

§ 6. Случайные величины

Пусть G - случайный опыт, математическое описание которого< >. Часто при решении практических задач нас интересуют не сами исходы , а их числовые характеристики, т.е. величины, значения которых зависят от исходов опыта. Такую величину естественно назвать случайной.

Определение. Числовая функция, определенная на множестве исходов таким образом, что для любого называется случайной величиной (с.в.). Последнее условие измеримости позволяет построить выборочное пространство с.в. в виде тройки где мера определяется равенством , называется распределением вероятностей с.в. и представляет образ меры на .

Мера однозначно определяется функцией распределения (ф.р.) с.в.

, коротко

Ф.р. любой с.в. обладает тремя характеристическими свойствами:

1) неубывающая;

2) непрерывна слева;

3) С помощью этой функции можно вычислить вероятность попадания значений с.в. в любой промежуток, так как Тогда, например,

По виду ф.р. (распределения вероятностей) можно осуществить классификацию с.в .: дискретные с.в.- ф.р. является кусочно-постоянной и представима в виде суммы

где - возможные значения с.в.. a. - соответствующие вероятности. Таблица

, где: l) 2)

называется рядом распределения вероятностей с.в. .

Абсолютно-непрерывные с.в.- ф.р. представима в виде

,

Функция называется плотностью распределения вероятностей и обладает следующими характеристическими свойствами: 1)

2)

Сингулярные с.в. - 1. - непрерывна на 2. п.в. на

Определение. Начальным моментом порядка k с.в. называется число где - совокупность всех абсолютно интегрируемых относительно меры с.в. на В частности где - дискретная с.в., если ряд абсолютно сходится и где - абсолютно-непрерывная с.в., если интеграл абсолютно сходится, . Начальный момент 1-го порядка принято называть математическим ожиданием с.в. (средним значением).

Центральным моментом порядка k с.в. называется число , если указанное математическое ожидание существует, .. Очевидно, что (среднее отклонение от среднего равно нулю); называется дисперсией с.в. (характеристика разброса возможных значений с.в. относительно среднего, что подтверждает неравенство Чебышева

, где ).

Задача 1. Абсолютно-непрерывная с.в. имеет п.р.в.

Найти: а) коэффициент ; b) ф.р.; с) ; d ) Используя характеристические свойства п.р.в., получаем

;

b)

Графики п.р.в. и ф.р.

с)

d) - расходится для , значит, начальные, а следовательно, и центральные моменты не определены.

Задача 2. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Построить ряд распределения числа искаженных знаков в сообщении, состоящем из 4-х независимо передаваемых знаков. Найти среднее и дисперсию числа искажений при передаче одного сообщения.

Ряд распределения вероятностей с.в. , означающей число искаженных знаков из 4-х, имеет вид

x
Р	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Заметим, что имеет распределение;

Задачи для самостоятельного решения

1. Задана таблица

	-1
	-

При каком значении с эта таблица будет задавать ряд распределения некоторой случайной величины ? Найти функцию распределения этой случайной величины, ее математическое ожидание и дисперсию.

2. Ряд распределения вероятностей случайной величины определяется формулами

Найти: 1) постоянную с; 2) 3) функцию распределения;

4) начальные и центральные моменты.

3. Производится независимых опытов, в каждом из которых с вероятностью р появляется событие А. Построить ряд распределения 1) числа появлений противоположного события; 2) частоты появления события А в п опытах. Для этих случайных величин найти математическое ожидание и дисперсию.

4. На пути движения автомашины четыре светофора. Каждый из них независимо от работы других светофоров с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает автомашине дальнейшее движение. Построить ряд распределения числа светофоров, пройденных автомашиной подряд без остановки. Для этой случайной величины найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.

5. Производятся независимые выстрелы по мишени до первого промаха или пока не кончатся патроны. Построить ряд распределения для: 1) числа проведенных выстрелов; 2) числа попаданий, если имеется 5 патронов и вероятность попадания при одном выстреле 0,8; 3) числа промахов. Найти для построенных случайных величин функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.

6. Найти математическое ожидание и дисперсию случайных величин, имеющих типовые распределения:

7. Из сосуда, содержащего т белых и п черных шаров, извлекаются шары до тех пор, пока не появится белый шар. Построить ряд распределения, функцию распределения и найти числовые характеристики для случайной величины - число вынутых черных шаров, если a) выбор с возвращением; b) выбор без возвращения.

8. Проверяется лампочек, каждая из которых с вероятностью р может иметь дефект. Лампочка ввинчивается в патрон и включается ток. При включении тока дефектная лампочка сразу же перегорает и заменяется другой. Построить ряд распределения числа лампочек, которое будет испробовано. Вычислить математическое ожидание и дисперсию при п = 6, р == 0,2.

9. Из 20 приборов имеется 6 не точных. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию числа точных приборов среди отобранных наудачу 5 приборов.

10. При каком значении с функция , может быть плотностью распределения вероятностей некоторой случайной величины ?

1)

2)

3)