Использование дисперсии в изучении взаимосвязи между явлениями

Если совокупность разбита на группы в результате проведения аналитической группировки, то для оценки влияния факторного признака (группировочного) на результативный можно разложить показатель дисперсии на отдельные составляющие:

1. Общая дисперсия: . Этот показатель отражает вариацию изучаемого признака как результат влияния всех факторов, определяющих индивидуальные различия единиц совокупности.

2. Межгрупповая дисперсия:

где - среднее значение признака в каждой группе, образованной по величине группировочного признака. Межгрупповая дисперсия отражает вариацию результативного показателя за счет вариации фактора, положенного в основу группировки.

3. Внутригрупповая дисперсия Этот показатель будет характеризовать вариацию результативного показателя за счет вариации всех прочих факторов (кроме фактора, положенного в основу группировки). Внутригрупповых дисперсий столько - сколько выделено групп. По совокупности в целом для оценки указанных факторов рассчитывается средняя из внутригрупповых дисперсий

Между общей дисперсией, межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий существует определенное соотношение, которое называется правилом сложения дисперсий:

Итак, общая вариация изучаемого признака может быть представлена как сумма двух составляющих: 1) вариации за счет фактора, положенного в основу группировки; 2) вариации, обусловленной влиянием прочих (случайных) факторов. Сопоставляя межгрупповую и общую дисперсию можно получить показатели тесноты связи:

1) коэффициент детерминации

Этот показатель показывает долю (удельный вес) общей вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака;

2) эмпирическое корреляционное отношение

Показывает влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. Оно колеблется в пределах от 0 до 1. Если η = 0, то группировочный признак не оказывает влияния на результативный, если η = 1, то результативный признак изменяется только в зависимости от признака положенного в основание группировки, а влияние прочих факторных признаков равно нулю.

Исчислим показатели дисперсии на основе следующих данных:

Таблица 21

Распределение рабочих по стажу работы

Группы рабочих по стажу работы	Число рабочих	Индивидуальная среднечасовая выработка продукции одного рабочего, ед.
До 5 лет Свыше 5 лет		2; 2; 3; 3; 4 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4

Рассчитаем средние значения выработки:

o по всем рабочим ед.;

o по первой группе ед.;

o по второй группе ед.

Предстоит выяснить, связано ли различие между средним уровнем выработки по группам со стажем работы рабочих.

Исчислим показатель межгрупповой дисперсии, который отразит вариацию выработки рабочих, обусловленную стажем работы:

Внутригрупповые дисперсии, показывающие вариацию выработки за счет всех других факторов, составили:

Средняя из внутригрупповых дисперсий

Общую дисперсию, отражающую вариацию выработки рабочих под влиянием всех факторов, исчислим по правилу сложения дисперсий: σ² = 0,0675 + 0,520 = 0,5875.

Рассчитаем показатели тесноты связи:

1) Коэффициент детерминации

Это значит, что вариация среднечасовой выработки рабочих обусловлена вариацией стажа лишь на 11,5 % (следовательно, 88,5 % этой вариации вызвано факторами, которые не учитывались при аналитической группировке).

2) Эмпирическое корреляционное отношение η = Значение этого показателя говорит о наличии умеренной (ближе к слабой) связи между стажем работы и среднечасовой выработкой.

Контрольные вопросы.

1. Что представляет собой вариация признака, от чего зависят ее размеры?

2. Что такое размах вариации, по какой формуле он исчисляется, в чем его недостаток как показателя вариации?

3. Что представляет собой среднее линейное отклонение, его формулы; в чем его недостатки как показателя вариации?

4. Какой показатель вариации называется дисперсией? По каким формулам она рассчитывается?

5. Что называется средним квадратическим отклонением? По каким формулам оно вычисляется?

6. Что представляет собой дисперсия альтернативного признака? Чему она равна?

7. Каковы основные свойства дисперсии?

8. В чем сущность упрощенного расчета дисперсии и среднего квадратического отклонения?

9. Почему дисперсия и среднее квадратическое отклонение не всегда являются достаточными для характеристики вариации признака в изучаемых совокупностях?

10. Коэффициент вариации как показатель, формула его вычисления и значение для экономического анализа.

11. На какие две большие группы делятся причины, факторы, вызывающие вариацию признака?

12. Какая вариация называется систематической, случайной?

13. Что характеризует межгрупповая дисперсия, ее формула?

14. Как определяются внутригрупповые дисперсии, средняя из внутригрупповых дисперсий, их формулы?

15. Что собой представляет правило сложения дисперсий, в чем его практическое значение?

16. Что называется эмпирическим коэффициентом детерминации, каков его смысл?

17. Что называется эмпирическим корреляционным отношением, в чем его смысл?