Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
1. (антикоммутативность)
2. (однородность)
3. и (адютивность (линейность))
Доказательство свойств:
1)
Доказательство: и и , а так же т.е. и ортогональны одним тем же плоскостям.
Поэтому и(это мы определяем по правилу правой руки) , а (см. Рис25.1) следовательно
2)
Доказательство: Рассмотрим следующие случаи ; ;
1) ,
Рис 25.2
= , а так как , ибо они ортогональны плоскости параллелограмма OADB (см. рисунок 25.2), а так же они имеют одинаковое направление,что можно определить направление по правилу правой руки то >0
2)
Рис 25.3
(см. рис. 25.3)
(25.1),
ибо и ортогональны одной и той же плоскости параллелограмма OABD, (25.2)
(25.3)
, ибо эти параллелограммы имеют одинаковые стороны и и общую высоту опущенную из вершины B. Поэтому из (25.2) и (25.3) следует, что:
Читателю рекомендуем самостоятельно по правилу правой руки установить, то, что они направлены в разные стороны.
что и поэтому и случай доказан.
3) тогда ,и для
можно применить случай 1). Из случаев 1)и 2) имеем:
(
(*)Свойство2)Для второго множителя можно доказать, используя уже доказанную антикоммутативность (Свойство1)и только что полученное свойство2) для первого множителя:
3) , Рассмотрим следующие случаи:
А) ,
Рис 25.4
Пололожим , , ; аналогично
(25.7)
Тогда сумма диагональ параллелограмма OACB (25.4)
(25.5)
Также: и по определению векторного произведения, и и (см 25.7)тогда параллелограмм получится из параллелограмма OACB поворотом последнего на угол (по часовой стрелке). Поэтому и диагональ
и = (напомним, что и , т.е.
(25.6)
Подставляя в (25.6) вместе и их значения из формулы (25.4) и (25.6) получим
случай А) доказан
Б) введем вектор
условию А) поэтому
, и случай Б доказан
В дальнейшем случае нам понадобится Лемма25.1:
Обозначим за проекцию вектора на плоскость, перпендикулярную вектору (эта проекция сама является вектором, которая на рис 25.5 обозначим за ).
Тогда имеет равенство:
(25.8)
Доказательство Леммы 25.1:
Рис 25.5
(см. рис 25.5). Поэтому ортогональна той же плоскости параллелограмма OACB (см. рис 25.5 где вектор ). Поэтому они коллинеарные и по правилу правой руки определяем,что
(25.9)
Их длины (25.10)
(25.11)
Но параллелограмм OACB и прямоугольник имеет одинаковые площади, ибо они имеют общую сторону OA и одинаковую высоту(эта высота равна AD).
Поэтому из (25.10) и (25.11) получаем, что
(25.12)
Тогда из (25.12) и (25.9) получим, что
Для доказательства правой части (25.8) можно использовать антикоммутативность и только что полученное равенство.
Лемма 25.1 доказана.
Продолжим доказательство свойства 3
В) Так как и , то вектора , и удовлетворяют уже доказанному свойству Б. А так как проекция суммы равна сумме проекций(это было доказано в §20), т.е из Леммы 25.1 получим:
Для доказательства равенства используем антикоммутативность векторного произведения и только что доказанное равенство:
.
Свойство 3 полностью доказано.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 551 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!