Метод Ньютона для знаходження кратного кореня

Метод Ньютона на випадок кратного кореня має лише лінійну швидкість збіжності. Щоб зберегти квадратичну збіжність, його модифікують у такий спосіб:

, де m – кратність кореня. Як правило, значення m невідоме. Використовуючи метод Ньютона, можна знайти кратність кореня. Для цього будемо задавати значення m = 1,2,3 і обчислювати значення кореня із заданою точністю, одночасно підраховуючи кількість ітерацій для кожного значення m. При деякому значенні m число ітерацій буде мінімальним. Це значення m і є кратністю кореня.

Питання та завдання до розділу 2

1 Постановка задачі розв’язання нелінійних рівнянь. Основні етапи розв’язання задачі.

2 Ітераційне уточнення кореня: порядок збіжності методу, апріорні й апостеріорні оцінки похибки.

3 Метод бісекції: опис методу, швидкість збіжності, критерій закінчення.

4 Метод простої ітерації розв’язку нелінійного рівняння: опис методу, умова й швидкість збіжності, критерій закінчення, геометрична ілюстрація, приведення до вигляду, зручного для ітерацій.

5 Метод Ньютона розв’язку нелінійного рівняння: опис методу, теорема про збіжність, критерій закінчення, геометрична ілюстрація.

6 Недоліки методу Ньютона. Модифікації методу Ньютона. Модифікація методу Ньютона для пошуку кратних коренів.

7 Інтервал невизначеності кореня.

8 Визначити кількість коренів рівняння й для кожного кореня знайти відрізки локалізації:
a) , b) .

9 Знайти дійсний корінь рівняння методом бісекції з точністю .

10 Визначити порядок p і знаменник q швидкості збіжності методу бісекції.

11 Виписати ітераційну формулу і вказати початкове наближення для розв’язку рівняння

.

12 Рівняння має 2 корені: , . Для уточнення кореня застосовується метод простої ітерації . До якого кореня зійдеться процес? Запропонувати ітераційний процес для уточнення другого кореня.

13 Розв’язується рівняння . Визначити, який з ітераційних процесів збігається до кореня : ,
,
.

14 Нехай рівняння f(x)=0 має на відрізку [a,b] єдиний корінь x і для його обчислення використається метод простої ітерації . Показати, що якщо - неперервна функція на [a,b] і на ньому, то для будь-якого початкового наближення з відрізка локалізації ітераційна послідовність збігається до кореня.

Розділ 3

Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР)

Розглянемо систему вигляду

(3.1)

Її матричний вигляд

АХ=В. (3.2 )

Тут А – {[ ], (i,j= ) } - матриця системи,

B = , X = - вектори-стовпці.

Відомо, що система (3.1) має єдиний розв’язок, якщо її матриця невироджена (тобто визначник матриці A відмінний від нуля). У випадку виродженості матриці система може мати безліч розв’язків (якщо ранг матриці A і ранг розширеної матриці, отриманої додаванням до A стовпця вільних членів, однакові) або ж не мати розв’язків узагалі (якщо ранги матриці A і розширеної матриці не збігаються).

Методи чисельного розв’язання СЛАР поділяються на точні і наближені. Метод вважають точним, якщо, нехтуючи похибками округлення, він дає точний результат після виконання певної кількості обчислювальних операцій. Математичні пакети прикладних програм для ПЕОМ містять стандартні процедури розв’язання СЛАР такими поширеними точними методами, як метод Гауса, метод Жордана-Гауса, квадратного кореня та інші.

До наближених методів розв’язання СЛАР належать метод простої ітерації, метод Зейделя, метод релаксації та інші. Вони дозволяють отримати послідовність наближень до розв’язку таку, що .

Ітераційні методи прості, легко програмуються і мають малу похибку округлення, яка не накопичується, але вони дають збіжну послідовність наближень тільки за виконання певної умови, що гарантує виконання принципу стискаючих відображень (дивись пункти 2.2 -2.5).

Розглянемо більш детально ці дві різні групи підходів до розв’язання СЛАР.