Поширення похибок

Важливим у чисельному аналізі є питання про те, як помилка, що виникла у визначеному місці в ході обчислень, поширюється далі, тобто чи стає її вплив більшим або меншим залежно від того, як виконуються наступні операції. Сформулюємо деякі правила оцінки похибок при виконанні операцій над наближеними числами:

- при додаванні або відніманні чисел їхні абсолютні похибки додаються;

- при множенні або діленні чисел їхні відносні похибки додаються.

Ці правила можна вивести безпосередньо. Нехай є два наближення a₁ і а₂ до чисел x₁ і x₂, а також відповідні абсолютні похибки ,

Оцінимо, наприклад, похибку суми

Для визначення оцінок похибки арифметичних дій можна використовувати загальне правило оцінки похибки функції.

Розглянемо функцію y=f(x). Нехай а – наближене значення аргумента х, - його абсолютна похибка. Абсолютну похибку функції можна вважати її приростом, який можна замінити диференціалом . Тоді одержимо , .

Застосуємо загальне правило, наприклад, для оцінки похибки суми f(x₁,x₂)=x₁+x₂

та добутку f(x₁,x₂)=x₁x₂

Тут через а₁ і а₂ позначені значення величин х₁ і х₂, задані з абсолютними похибками а₁ і а₂.

Розглянемо віднімання двох майже рівних чисел. Запишемо вираз для відносної похибки різниці у вигляді

При ця похибка може бути як завгодно великою. Нехай а1=2520, а2=2518. Абсолютні похибки вихідних даних а1= а2=0.5; відносні похибки - а1 а2 0.002 (0.2%). Відносна похибку різниці буде дорівнювати (а1-а2)=(0.5+0.5)/2=0.5 (50%). Оскільки в подальших обчисленнях ця велика відносна похибка буде поширюватися, може виявитися сумнівною точність остаточного результату обчислень.

Наведемо деякі оцінки

Дія (функц.)	Абсолютна похибка	Відносна похибка
х1+х2 х1-х2   x1*x2 x1/x2     s		a1 + a2     a1 + a2

У той же час буває і так, що похибки чисел, що беруть участь у тому або іншому обчисленні, взаємно компенсуються. Врахувати це можливо, але досить складно. Для ознайомлення з різними питаннями наближених обчислень можна порекомендувати книги [1],[2].

1.5 Підвищення точності результатів обчислень (рекомендації)

Щоб зменшити можливу похибку результату при розв’язуванні задачі, рекомендується дотримуватися таких правил для практичної організації обчислень.

І Похибка суми кількох чисел при розрахунку на ЕОМ зменшиться, якщо починати додавання з менших за величиною доданків.

Якщо додається досить багато чисел, то їх краще розбити на групи з чисел близьких за величиною, провести додавання в групах за вищезгаданою рекомендацією, після чого отримані суми додати, починаючи з меншої.

Якщо задано додатних чисел приблизно однакової величини, то загальна помилка округлення зменшиться, якщо числа додати спочатку групами по n- чисел, а потім додати n – часткових сум. При великих n верхня межа округлення при такому способі становить всього 1/n від відповідної межі при довільному додаванні чисел одне до одного.

Причина того, що не виконується комутативний закон додавання, полягає в округленні проміжних результатів, коли багатозначні числа не вміщуються в розрядну сітку ЕОМ. Тому і не все одно, в якому порядку необхідно виконувати арифметичні операції, щоб результат був якомога точнішим.

ІІ Варто уникати віднімання двох майже однакових чисел. Обчислюючи різницю двох чисел, доцільно винести за дужки їхній спільний множник. Для прикладу обчислимо величину

Винесемо число “4” за дужки, одержимо точний результат:

Зменшити похибку різниці дозволяють перетворення:

Тут - мале в порівнянні з a число.