Класифікація та постановки крайових задач

Розрізняють три основних типи крайових задач для диференціальних рівнянь:

I. Задача Коші: ставиться для рівнянь гіперболічного та параболічного типів шляхом завдання початкових умов, крайові умови відсутні;

II. Крайова задача для рівнянь еліптичного типу: задаються крайові умови, початкові умови відсутні;

III. Змішана задача (початково-крайова задача): ставиться для рівнянь гіперболічного та параболічного типів шляхом завдання як початкових, так і крайові умов.

Для рівняння коливань задача Коші формулюється наступним чином: знайти , що задовольняє рівняння

(4.23)

та початкові умови:

,

. (4.24)

Для рівняння дифузії задача Коші формулюється так: знайти , що задовольняє рівняння

(4.25)

та початкову умову:

. (4.26)

Крайова задача для еліптичного рівняння полягає в знаходженні функції , що задовольняє рівняння

(4.27)

та крайові умові (4.22).

Для рівнянь Лапласа і Пуассона крайова задача з крайові умовою І роду називається задачею Діріхле, з крайові умовою ІІ роду – задачею Неймана. Крайові задачі для рівнянь еліптичного типу можуть бути також зовнішніми та внутрішніми.

Змішана задача для рівнянь гіперболічного типу ставиться так: знайти функцію , що задовольняє рівняння коливань (4.23), початкові умови (4.24) та крайову умову (4.22), причому мають виконуватися умови узгодженості:

,

. (4.28)

І нарешті, змішана задача для рівняння дифузії (4.25) полягає в знаходженні функції , що задовольняє рівняння (4.25), початкову умови (4.26) та крайову умову (4.22).