Метод трапеций

На основе интеграла Фурье (6.2) можно получать приближенные оценки качества переходного процесса. Но с помощью этого интеграла можно также построить кривую переходного процесса (приближенно). Взятие интеграла Фурье – задача достаточно громоздкая. Поэтому и была поставлена задача приближенного построения кривой переходного процесса по ВЧХ. Для этой цели прибегают к понятию единичной трапециидальной ВЧХ.

Высота=1, ч.с. .

Единичная трапеция характеризуется частотой излома, которая может быть задана в виде коэффициента наклона трапеции . Для единичных трапеций с различными коэффициентами наклона по выражению (6.2) может быть найден оригинал, т.е. функция времени. Эта функция получила название h-функции. В н.в. составлены подробные таблицы h-функций для разложения коэффициентов наклона, лежащих в пределах (эти таблицы можно найти в книге Бесекерского, приложение 1). По такой таблице для каждого коэффициента наклона единичной трапеции может быть построена функция времени , где - безразмерное время, соответствующее единичной трапециидальной характеристике. Метод же трапеций заключается в том, что построенную ВЧХ разбивают на ряд трапеций, заменяя приближенно кривые линии прямолинейными участками так, чтобы при сложении ординат всех трапеций получилась исходная ВЧХ. Затем для каждой трапеции определяют коэффициент наклона

, ,………….., . Зная коэффициент наклона, по таблицам можно построить h-функции для каждой трапеции.

Кривая переходного процесса может быть получена суммированием построенных Н-функций с соблюдением правил масштабов. Правила эти следующие:

1. Перед сложением ординаты каждой h-функции необходимо умножить высоту соответствующей трапеции, т.к. h-функция строится для трапеции, имеющей единичную высоту. При этом необходимо учитывать знак высоты, считая высоту положительной для трапеций, расположенных выше абсцисс.
2. Перед сложением необходимо изменить масштаб времени каждой h-функции, т.к. h-функции построены для единичной трапеции, имеющей единичную частоту

среза . Масштаб времени делается в соответствии с теоремой подобия.

Действительное время равно

При построении кривой переходного процесса по трапециидальной частотной характеристике наибольшие ошибки получаются в начальной части кривой.

Корневыми оценками качества называют такие оценки, которые основываются на расположении корней характеристического уравнения замкнутой системы. Простейшая корневая оценка качества – степень устойчивости – расстояние от мнимой оси до ближайшего корня на плоскости корней характеристического уравнения замкнутой системы.

Если ближайшим к мнимой оси плоскости оказывается действительный корень, то ему соответствует апериодическая составляющая решения для переходного процесса:

Время ее затухания при характеризует общую длительность переходного процесса, т.к. все члены решения, соответствующие остальным корням, затухают быстрее. Если же ближайшим к мнимой оси оказывается пара мнимых корней, то доминирующей составляющей решения для переходного процесса будет колебательная составляющая: (колебательная степень устойчивости).Оценка длительности переходного процесса будет такой же.

Величина степени устойчивости определяется так: вводится новая комплексная переменная . Тогда на плоскости z мнимая ось пройдет через ближайшие корни характеристического уравнения, т.е. составленное относительно z характеристическое уравнение должно удовлетворять условию нахождения на границе устойчивости. Таким образом, если задано характеристическое уравнение

, то подставив , а именно

, получим новое уравнение, которое называется смещенным, в виде: , (6.3)

где коэффициенты являются функциями . Их можно вычислить следующим образом: , (6.4)

что вытекает из представления выражения (6.3) как результата разложения функции при в ряд Тейлора.

Затем к смещенному уравнению (6.3) применяется условие границ устойчивости, например, по Гурвицу и (6.5)

откуда и определяется величина степени устойчивости.

Колебательность переходного процесса определяется величиной ,

где и - вещественная и мнимая части корней характеристического уравнения. Эта величина характеризует быстроту затухания колебаний за каждый период. Паре комплексных корней соответствует составляющая решения переходного процесса: .

Период колебаний , т.о. характеризует частоту колебания. Через один период амплитуда уменьшится до величины .

Следовательно, чем больше величина , тем слабее будет затухание колебаний в переходном процессе. Линия , образует центральный угол на комплексной плоскости.

Стремление приближает кривую x(t) к скачку, т.к. именно при этом уменьшается квадратичная площадь, ограниченная кривой.

Однако, это, в свою очередь, вызывает значительное увеличение скорости (рывок скорости) в начальной части процесса. Чтобы получить быстрозатухающий, но в то же время достаточно плавный процесс, вводят улучшенную квадратичную интегральную оценку качества:

При стремлении уменьшить величину этой оценки кривая переходного процесса приближается к экспоненте с желаемой постоянной времени Т.

Суммарное требование определения значений степени устойчивости и колебательности приводит к области, внутри которой должны лежать все корни характеристического уравнения замкнутой системы.

Приведем пример корневых оценок качества переходного процесса в системах 3-го порядка. Это – т.н. диаграмма Вышнеградского.

а) Характеристическое уравнение системы 3-го порядка

Приводится к нормированному виду , (6.6) где , , А и В – параметры Вышнеградского, представляющие собой комбинации реальных параметров системы, входящие в коэффициенты характеристического уравнения. На плоскости параметров А,В граница устойчивости выразится зависимостью АВ=1.

Область устойчивости разбивается на три подобласти с различным расположением корней характеристического уравнения, и соответственно с разными очертаниями переходного процесса. Граничные линии СЕ и СF находят приравниванием нулю дискриминанта формулы Кардана (решения Кубического уравнения) в виде

,

а линия СД – из равенства вещественных частей всех корней

A<3

В т.С (3,3) все три корня (нормированного характеристического уравнения) действительны и равны -1. На диаграмму Вышнеградского можно нанести линии равных значений степени устойчивости и линии равных значений колебательности .

Если нам требуется в системе 3-го порядка выбрать параметры так, чтобы получить заданное качество переходного процесса по показателям и , можно выбрать соответствующую точку. Найдя т.о. значения параметров Вышнеградского, можно затем воспользоваться формулами (6.6) для подбора реальных физический параметров системы.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА

Интегральными называются те оценки качества, которые одним числом оценивают и величину отклонения и время затухания переходного процесса. Отклонение х в переходном процессе будем отсчитывать от нового установившегося значения, так что

при .

Для монотонного процесса интегральной оценкой может служить площадь под кривой переходного процесса, т.е. (6.7)

Этот интеграл имеет конечное значение для каждого решения х(t) линейного уравнения (з.с.) Здесь процесс будет тем лучше, чем меньше .

Но для колебательного процесса такая оценка не годится, т.к. при вычислении интеграла (6.7) нижние площади под кривой будут вычитаться из верхних. Поэтому по

величины лучшим был бы переходной процесс с незатухающими колебаниями.

Поэтому в общем случае используют квадратичную интегральную оценку качества в виде: