Лекция 65 Разложение функций в степенной ряд

Разложить функцию f(x) в степенной ряд, расположенный по степеням х - х₀ – это значит составить ряд, у которого радиус сходимости не равен нулю, а сумма тождественно равна данной функции всюду внутри промежутка сходимости.

Если функция f(x) разлагается в степенной ряд, то разложение единственно.

Разложение простейших функций по степеням х:

5) показательные (2);

6) тригонометрические (4);

7) гиперболические (4);

8) логарифмические (2);

9) биномиальные ряды (6);

10) обратные тригонометрические (4);

11) обратные гиперболические (4).

Лекция 66 Ряд Тейлора

·

Лекция 67 Дифференциальные уравнения. Основные понятия

Дифференциальным уравнением называется урав­нение, содержащее производные неизвестной функ­ции (или нескольких неизвестных функций). Вместо производных могут содержаться дифференциалы.

Если неизвестные функции зависят от одного ар­гумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких, то уравнение на­зывается дифференциальным уравнением с частными производными. Будем рассматривать только обык­новенные дифференциальные уравнения.

Общий вид дифференциального уравнения с одной неизвестной функцией таков:

F (х, у, у', у",..., у⁽ⁿ⁾) = 0.

Порядком дифференциального уравнения называ­ется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение.

Функция у =j(х) называется решением дифферен­циального уравнения, если последнее обращается в тождество после подстановки у =j(х).

Основной задачей теории дифференциальных уравнений является нахождение всех решений данно­го дифференциального уравнения. В простейших слу­чаях эта задача сводится к вычислению интеграла. Поэтому решение дифференциального уравнения на­зывают также его интегралом, а процесс нахождения всех решений — интегрированием дифференциально­го уравнения.

Вообще интегралом данного дифференциального уравнения называют всякое уравнение, не содержа­щее производных, из которого данное дифференциаль­ное уравнение вытекает как следствие.