Лекция 39 Выпуклость (вогнутость) функции. Перегибы

Пусть функция y = f (x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда существует касательная к графику функции y = f (x) в любой точке M (x; f (x)) этого графика (a < x < b), причем касательная не параллельна оси Оу, поскольку её угловой коэффициент, равный f ¢(x), конечен.

Определение 1: Будем говорить, что график функции у = f (x) имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз – вогнутость (выпуклость, направленную вверх – выпуклость), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (а, b).

Замечание: на участке выпуклости касательные к графику функции не пересекаются с самим графиком и имеют с ним лишь точки касания.

Теорема 1 (признак выпуклости (вогнутости)): Если функция f (х) дважды дифференцируема на интервале (a, b) и f ²(х)≥0 (f ²(х)≤0) на (a, b), то функция f (x) вогнута (выпукла) на (a, b).

Определение 2: Точка М (х ₀; f (х ₀)) называется точкой перегиба графика функции y = f (x), если в точке М график имеет касательную, и существует такая окрестность точки х ₀, в пределах которой график функции y = f (x) слева и справа от точки х ₀ имеет разные направления выпуклости.

Теорема 2 (необходимое условие точки перегиба): Если функция f (х) имеет в точке х ₀ перегиб и дважды дифференцируема в этой точке, то f ²(х ₀)=0.

Замечание: Если в точке х ₀ f ²(х ₀)=0, то она может и не быть точкой перегиба.

Теорема 3 (достаточное условие перегиба): Пусть функция f (х) дважды дифференцируема в некоторой d -окрестности точки х ₀. Тогда, если f ²(x)< f ²(х ₀) (f ²(x)> f ²(х ₀)) для всех х из (х ₀- d, х ₀), а f ²(x)> f ²(х ₀) (f ²(x)< f ²(х ₀)) для всех х из (х ₀, х ₀+ d), то в точке х₀ функция f (х) имеет перегиб, если же f ²(х) во всей d -окрестности точки х ₀ имеет один и тот же знак, то в точке х ₀ перегиба нет.

Другими словами, если f ²(x) при переходе через точку х ₀ меняет знак с «+» на «-», или с «-» на «+», то х ₀ — точка перегиба, если же знак f ²(x) в точке х ₀ не изменяется, то в точке х ₀ перегиба не существует.