Лекция 4 Виды числовых множеств. Окрестность точки

Пусть а и b — два числа, причём а < b. Будем использовать следующие обозначения:

Конечные числовые промежутки
	{ x | a £ x £ b }=[ a; b ]	замкнутый промежуток (интервал)	отрезок	сегмент
	{ x | a < x £ b }=(a; b ]	полуоткрытый (полузамкнутый) промежуток (интервал)	полуоткрытый (полузамкнутый) отрезок	полусегмент
	{ x | a £x< b }=[ a; b)	полуоткрытый (полузамкнутый) промежуток (интервал)	полуоткрытый (полузамкнутый) отрезок	полусегмент
	{ x | a < x < b }=(a; b)	открытый промежуток (интервал)
Бесконечные числовые промежутки
	{ x | a £ x }=[ a; +¥)	полуинтервал	закрытый луч	полупрямая
	{ x | a < x }=(a; +¥)	интервал	открытый луч	полупрямая
	{ x | x £ b }=(-¥; b ]	полуинтервал	закрытый луч	полупрямая
	{ x | x < b }=(-¥; b)	интервал	открытый луч	полупрямая
	{ x | -¥< x <+¥}=(-¥; +¥)	множество всех вещественных чисел	числовая прямая	прямая

Все эти множества называются промежутками (интервалами).

Определение 1: Промежутки [ a; b ], (a; b ], [ a; b) и (a; b) называются конечными; а и b — их концы.

Остальные промежутки называются бесконечными.

Интервал (a; b) отличается от отрезка [ a; b ] тем, что ему не принадлежат концы и интервал (а, b) не содержит ни наибольшего, ни наименьшего числа, в то время как в отрезке [ а, b ] такими числами являются соответственно b и а.

Пусть х ₀ — любое действительное число.

Определение 2: Окрестностью точки х ₀ называется любой интервал (a; b), содержащий точку х ₀. В частности, интервал (х ₀-e; х ₀+e), где e>0 называется e-окрестностью точки х ₀. Число х ₀ называется центром, а число e — радиусом.

Если х Î(х ₀-e; х ₀+e), то выполняется неравенство х ₀-e< х < х ₀+e, или, что то же, | х - х ₀|<e.

Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х ₀ в e-окрестностью точки х ₀.

Проколотой окрестностью точки х ₀ называется такая окрестность точки х ₀, из которой удалена сама точка х ₀.