Молекулярна фізика

Зміст

2.1.1 Статистичний та термодинамічний методи досліджень.

2.1.2 Уявлення про ідеальний газ. Рівняння Клапейрона – Менделєєва.

2.1.3 Виведення рівняння молекулярно – кінетичної теорії ідеальних газів та його порівнювання з рівнянням Клапейрона – Менделєєва.

2.1.4 Середня кінетична енергія молекул. Молекулярне кінетичне тлумачення абсолютної температури.

2.1.5 Число ступенів вільності молекул. Внутрішня енергія ідеального газу. Закон рівномірного розподілу енергії за ступенями вільності.

2.1.6 Закон Максвела для розподілу молекул ідеального газу за швидкостями.

2.1.7 Барометрична формула. Закон Больцмана для розподілу частинок у зовнішньому потенціальному полі.

2.1.1 Статистичний та термодинамічний методи досліджень

Коли у фізиці розпочалось систематичне вивчання газів (XVII ст. Торічелі, Паскаль, Ван-Гальмонт), то стало зрозуміло, що, користуючись класичною механікою, не можливо описати змінювання властивостей такої системи, де концентрація атомів або молекул становить 10²⁵‑10²⁸ м^-3. Тому виникла потреба у створенні нових методів дослідження такого стану матерії. У сучасній фізиці для цього використовують два підходи – молекулярно-кінетичний (статистичний) і термодинамічний.

Молекулярно-кінетичний метод вивчає будову та властивості речовини, виходячи з факту існування великої кількості атомів та молекул у фізичній системі, що розглядається, завдяки великій кількості частинок, згідно з теорією ймовірності, поведінка такої системи зумовлюється найбільш імовірними значеннями динамічних характеристик цих частинок: швидкістю, енергію, частотою зіткнень. Молекулярна-кінетична теорія описує течію процесів тобто швидкість змінювання властивостей системи з часом.

Фізичну систему, яка складається з величезної кількості частин або сукупності тіл, які обмінюються енергією між собою й оточенням, називають термодинамічною (макроскопічною) системою.

Термодинаміка вивчає загальні властивості фізичних систем за допомогою макроскопічних параметрів, що характеризують таку систему в цілому (тиск – P, температура – T, об’єм – V). Принциповим є положення про необхідність рівноважного стану у термодинамічній системі. Термодинамічна система знаходиться у стані рівноваги, якщо параметри стану не змінюються з часом та однакові у будь-якій частині системи.

Термодинамічним процесом називають будь-яке змінювання у термодинамічній системі, пов’язане із змінюванням хоча б одного з термодинамічних параметрів.

Обидва методи описують один і той же стан речовини, але різними уявленнями, різними фізичними моделями. Обидва мають свої переваги та недоліки, але в цілому доповнюють один одного.

Одним з основних параметрів стану термодинамічної системи є температура. У термодинаміці прийнята абсолютна шкала температур. На відміну від багатьох відносних шкал температур (Цельсія, Фаренгейта, Реомюра) вона має чіткий фізичний сенс, пов’язаний з енергією молекул. Цю шкалу запровадив Лорд Кельвін (У.Томпсон) в 1848 р. Абсолютна шкала, прив’язана до так званої потрійної точки, коли крига, вода та насичена пара знаходиться у стані рівноваги з тиском P =609 Па і відповідає абсолютній температурі 273,15К (0°C). Тому зв’язок між абсолютною температурою та температурою за шкалою Цельсія (t° C) має такий вигляд:

T = t + 273,15. (2.1)

Рекомендована література:

І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 1.Механіка. Термодінамика та молекулярна фізика. Навч. посібник/- К.:Либідь, 1998.- С.97-98.

Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.64-65.

2.1.2 Уявлення про ідеальний газ. Рівняння Клапейрона – Менделєєва

Уявлення про атомну структуру матерії виникло ще у стародавній Греції (Демокріт – 460...370 до н.е.). Тому цілком було природно, запроваджуючи модель такої реальної фізичної системи як газ, розглядати його як сукупність молекул, що якось рухаються та стикаються одна з одною. Це так звана модель ідеального газу. Основні вимоги до моделі:

1. Власний об’єм молекул газу (частинок термодинамічної системи) порівняно з розмірами посудини, де він знаходиться, значно менший.

2. Сили взаємодії між молекулами (частинками термодинамічної системи) відсутні.

3.Зіткнення молекул газу (частинок термодинамічної системи) – абсолютно пружні.

4. Відстань між окремими молекулами (частинками термодинамічної системи) набагато більша за розміри молекул (частинок).

Експеримент доводить, що модель ідеального газу може бути використана для більшості природних газів у нормальних умовах: P₀ =1.013×10⁵ Па, Т₀ =273К.

Експериментально встановлено наступні закони для ідеальних газів.

Закон Авогадро. Молі будь-яких газів з однаковою температурою та тиском займають однакові об’єми. За нормальних умов цей об’єм дорівнює . При цьому в молі будь-якої речовини міститься N_A – молекул (частинок). N_A – число Авогадро дорівнює:

N_A =6.02×10²³ моль^-1.

Закон Дальтона. Тиск суміші ідеальних газів дорівнює додатку парціальних тисків цих газів.

. (2.2)

Парціальний тиск – це тиск, що мав би газ, який є у суміші, якщо б він займав увесь об’єм посудини, де міститься, за температури суміші.

Основним рівнянням рівноважного стану ідеальних газів є рівняння Клапейрона-Менделєєва. Менделєєв, поєднавши закон Клапейрона із законом Авогадро, одержав у 1874р. наступне рівняння:

, (2.3)

де R – універсальна газова стала: R = 8.31 Дж/моль×К; відношення маси m до молекулярної маси m має назву кількість речовини та показує кількість молів у масі m певної речовини:

. (2.4)

Якщо запровадити нову сталу , яка називається сталою Больцмана і дорівнює k = 1.38×10^-23 Дж/K, то рівняння Клапейрона-Менделєєва можна записати в іншому вигляді:

, (2.5)

де кількість молекул в об’ємі V.

Таким чином рівняння Клапейрона-Менделєєва набуде вигляду:

, (2.6)

де – концентрація молекул.

Закон Лошмідта. За рівних температурі та тиску, концентрація молекул для усіх газів однакова:

= 2.68 ×10²⁵ м³. (2.7)

Число N_L має назву числа Лошмідта.

Рекомендована література:

І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 1.Механіка. Термодінамика та молекулярна фізика. Навч. посібник/ - К.:Либідь, 1998.- С.100-104.

Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.65-68.

2.1.3 Виведення рівняння молекулярно – кінетичної теорії ідеальних газів та його порівнювання з рівнянням Клапейрона-Менделєєва

Розглянемо одноатомний газ. Якщо молекули рухаються хаотично, то кількість зіткнень між ними можна порахувати у порівнянні із зіткненнями зі стінками посудини. Виділимо у посудині, що містить газ, деякий об’єм (рис.2.1). Будемо вважати удар молекул об стінки абсолютно пружнім. Тоді зміна імпульсу однієї молекули складатиме:

, (2.8)

де m₀ – маса однієї молекули, v ‑ її швидкість.

За час до площини досягне наступна кількість молекул:

, (2.9)

де n – концентрація молекул.

Якщо враховувати, що напрямки за координатами x, y, z рівнозначні стосовно руху молекул, то треба взяти тільки 1/3 частину усієї кількості молекул, що рухаються в напрямку площини та враховувати те, що тільки половина молекул рухається до обраної стінки:

, (2.10)

де – імпульс, що одержує стінка посудини.

Тоді одержуємо для тиску газу на стінки посудини:

. (2.11)

З теорії ймовірності більш коректно розглядати середньоквадратичну швидкість: . З урахуванням цього, одержуємо формулу, що виражає основне рівняння ідеального газу в молекулярно-кінетичній теорії:

. (2.12)

Помножимо останнє рівняння на об’єм посудини:

. (2.13)

Порівнюючи це рівняння з рівнянням Клапейрона-Менделєєва, одержуємо:

, (2.14)

. (2.15)

Звідки знаходимо формулу для середньоквадратичної швидкості молекул ідеального газу:

. (2.16)

Рекомендована література:

І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 1.Механіка. Термодінамика та молекулярна фізика. Навч. посібник/ - К.:Либідь, 1998.- С.100-103.

Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.65-70.

2.1.4 Середня кінетична енергія молекул. Молекулярно-кінетичне тлумачення абсолютної температури

Кінетична енергія поступального руху для однієї молекули газу дорівнює:

. (2.1.17)

З урахуванням середньоквадратичної швидкості молекул отримаємо:

. (2.18)

Тобто, кінетична енергія поступального руху залежить тільки від термодинамічної температури газу. Тому при Т =0 K кінетична енергія поступального руху молекул дорівнює нулю й тиску газ не спричиняє. Отож, з точки зору молекулярно-кінетичної теорії, термодинамічна температура є мірою середньої кінетичної енергії поступального руху молекул ідеального газу.

Рекомендована література:

І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 1.Механіка. Термодінамика та молекулярна фізика. Навч. посібник/ - К.:Либідь, 1998.- С.158-163.

Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для ст. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.64-65.

2.1.5 Число ступенів вільності молекул. Внутрішня енергія ідеального газу. Закон рівномірного розподілу енергії за ступенями вільності

Згадуючи визначення числа ступенів вільності для матеріальної точки, не важко розрахувати число ступенів вільності для молекул. Наприклад:

1. Одноатомна молекула має три ступеня вільності поступального руху (рис.2.2):

.

2. Двоатомна молекула має три поступальних і два обертальних ступенів вільності (рис.2.3):

.

3. Трьохатомна, а також багатоатомна молекула має три поступальних і три обертальних ступеня вільності (рис.2.4):

.

Для молекул ідеального газу силове поле взаємодії не враховується. Тому молекули такого газу не мають потенційної енергії. Таким чином внутрішня енергія ідеального газу буде складатися тільки з кінетичної енергії руху молекул.

Внутрішня енергія ідеального газу U – це енергія усіх частинок, що складають цю систему, тобто енергія поступального та обертального руху. Енергія молекули одноатомного газу:

,

у загальному вигляді:

. (2.19)

Закон рівномірного розподілу молекул за ступенями вільності (теорема Больцмана). У стані теплової рівноваги на кожну ступень вільності молекул у середньому припадає однакова кінетична енергія, що дорівнює .

Якщо враховувати, що існує ще коливальний рух, який має потенціальну та кінетичну енергії, то на кожну ступень свободи коливального руху припадає енер­гія . Необхідність такого врахування має місце за високих температур газу.

Рекомендована література:

І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 1.Механіка. Термодінамика та молекулярна фізика. Навч. посібник/ - К.:Либідь, 1998.- С.107-110, 158-163.

Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.79-80.

2.1.6 Закон Максвела для розподілу молекул ідеального газу

за швидкостями

Молекули ідеального газу рухаються в будь-яких напрямках і стикаються одна з одною, внаслідок чого змінюють свою швидкість. Яким чином вони розподіляються за швидкостями? Відповідь на це запитання дано розрахунками, які проведено Джеймсом Максвелом у 1859р.

Виходячи з того, що газ складається з N -молекул, та швидкість молекул може бути в межах , він запровадив уявлення про функцію розподілу.

Відокремимо частину молекул , що мають певну швидкість, тобто швидкість, що попадає в деякий інтервал (рис.2.5). Тоді відносна кількість молекул, що мають певну швидкість дорівнює:

. (2.20)

З цього випливає фізичний сенс функції розподілу – це відносна кількість молекул, що мають певну швидкість.

Максвел на підставі статистичної фізики одержав наступний вигляд функції розподілу (рис.2.6):

. (2.21)

Наслідки, що витікають із рівняння для функції розподілу:

Більшість молекул має найбільш імовірну швидкість молекул . Якщо знайти максимум f(v), то тоді одержуємо величину найбільш імовірної швидкості:

(2.22)

або . (2.23)

Середню арифметичну швидкість, можна знайти інтегруванням:

. (2.24)

З чого . (2.25)

Як бачимо найбільш імовірна, середньоквадратична та середньоарифметична швидкості взаємопов’язані між собою:

; ; . (2.26)

Експериментальна перевірка функції розподілу була проведена Штерном (1920) та Ламмертом (1929) і повністю підтвердила висновки Максвела.

Рекомендована література:

І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 1.Механіка. Термодінамика та молекулярна фізика. Навч. посібник/ - К.:Либідь, 1998.- С.168-172.

Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.70-71.

2.1.7 Барометрична формула. Закон Больцмана для розподілу частинок у зовнішньому потенціальному полі

Розглянемо газ, що знаходиться у зовнішньому гравітаційному полі. Як розподіляються при цьому молекули за енергіями? Спочатку знайдемо розподіл тиску за висотою над поверхнею Землі (рис.2.7). Тиск стовпа повітря дорівнює:

, (2.27)

тоді . (2.28)

Згідно рівняння Клапейрона-Менделєєва , оскільки густина повітря дорівнює , то

, (2.29)

тоді (2.30)

або . (2.31)

Інтегруючи, маємо

, (2.32)

(2.33)

або , (2.34)

де P ₀ – тиск газу (повітря) над рівнем моря.

Останній запис має назву барометричної формули. Отже тиск газу з висотою зменшується за законом експоненти. За допомогою цієї формули можна розраховувати висоту над рівнем землі, вимірюючи тиск.

Якщо в барометричній формулі перейти від тиску газу до концентрацій молекул

, (2.35)

(за умов =const), то одержимо

. (2.36)

Тобто концентрація молекул із висотою зменшується. Причому, концентрація важкого газу спадає скоріше ніж концентрація легкого газу.

Перетворимо рівняння розподілу концентрацій, враховуючи, що :

, (2.37)

де – потенційна енергія.

Таким чином, одержуємо розподіл молекул у зовнішньому силовому полі (закон Больцмана):

. (2.38)

Згідно цього закону концентрація молекул газу змінюється у зв’язку з відношенням потенційної енергії молекул у зовнішньому полі до кінетичної енергії їх теплового руху. Тобто, за сталої температури концентрація газу більша там, де менша потенційна енергія молекул.

Рекомендована література:

І. Г. Богацька та ін. Загальні основи фізики: У двох книгах. Кн. 1.Механіка. Термодінамика та молекулярна фізика. Навч. посібник/ - К.:Либідь, 1998.- С.71-73.

Трофимова Т. И. Курс физики: Учебник для студ. вузов/ - М.:Высш.шк., 1985.- С.174-177.