Постановка задачи. Перейдем к постановке задачи о выборе оптимального базиса

Перейдем к постановке задачи о выборе оптимального базиса. Имеются векторов . Требуется найти систему из ортонормированных векторов таких, что выполнено условие

(1)

Его содержательный смысл - сумма квадратов отклонений от проекций на плоскость, порожденную векторами минимальна. Перепишем (1) в виде

. Поскольку первое слагаемое от векторов не зависит, последнее заменяется условием , (2)

где . Условие (2) сводится к ситуации, описанной Предложением 1. В частности, в качестве векторов можно выбирать собственные векторы, отвечающие наибольшим собственным значениям матрицы . Следует отметить, что любой ортонормированный базис в пространстве, порожденном этими собственными векторами, обладает нужными свойствами.

Отметим, что сумма квадратов отклонений совпадает с суммой оставшихся собственных значений матрицы , которая в нашем случае является неотрицательно определенной.