Задача №3

Вантаж вагою , опускаючись по похилій гладкій площині, яка складає з горизонтом кут , призводить до обертання барабана вагою з радіусом за допомогою невагомої нитки, що не розтягується,
(рис. 9.5).

Визначити кутове прискорення барабана, якщо рахувати барабан однорідним круглим циліндром. Масою нерухомого блока знехтувати.

Розв’язування. Дана невільна система складається з вантажу і барабана , сили тяжіння (активні сили) яких і - задані. Зв’язком між вантажем і барабаном є невагома нитка, яка не розтягується. Зовнішніми в’язями по відношенню до системи є похила поверхня, а також підшипники і .

Визначимо можливі переміщення системи. Для барабана можливим переміщенням буде кут повороту , для поступального руху вантажу

можливе переміщення . Установимо залежність між величинами і .

При переміщенні вантажу униз на величину , нитка змотується з барабана на ту ж саму величину , а барабан повернеться на кут . Тобто

Прикладемо до невільної механічної системи сили інерції. Якщо вантаж опускається з прискоренням , напрямленим униз по похилій поверхні, то сила інерції вантажу напрямлена у протилежний бік. Момент сил інерції барабана напрямлений так, як показано на рисунку 9.5, у бік, протилежний кутовому прискоренню .

Рис. 9.5

Складемо загальне рівняння динаміки системи у формі (9.3):

де

Тоді: .

Реакції , і роботи на елементарному переміщенні не виконують.

Рівняння (9.6) з урахуванням напрямків сил і можливих переміщень запишемо у вигляді:

,

або

Визначимо величини і , виражаючи при цьому лінійне прискорення вантажу через кутове прискорення барабана:

; ; ,

де момент інерції барабана відносно осі ₂;

- кутове прискорення барабана.

Підставляючи усі ці дані у рівняння (2), одержимо:

Оскільки , то будемо мати:

.

Відкіля визначаємо кутове прискорення барабана:

Відповідь: .

Питання для самоконтролю

1. Як математично виражається наявність в’язей, що накладені на систему?

2. Які в’язі називаються голономними?

3. Які в’язі називаються утримуючими?

4. Які в’язі називаються стаціонарними, нестаціонарними?

5. Що називається можливими переміщеннями точки і механічної системи?

6. У чому полягає різниця між можливим переміщенням точки і дійсним?

7. Що називається можливою роботою сили?

8. Які в’язі називаються ідеальними?

9. Як формулюється принцип можливих переміщень для системи?

З викладеними в лекції питаннями можна більш детально ознайомитись за підручником С.М. Тарга [1].

Лекція 10