Закон збереження кількості руху

Із теореми про зміну кількості руху системи можна отримати наступні наслідки:

1. Нехай сума всіх зовнішніх сил, які діють на систему, дорівнює нулю:

0.

Тоді = 0, звідки const.

Таким чином, якщо сума проекцій всіх зовнішніх сил, які діють на систему, дорівнює нулю, то вектор кількості руху системи буде незмінним за модулем та напрямком.

2. Нехай зовнішні сили, які діють на систему, такі, що сума їх проекцій на будь-яку вісь (напр. вісь Ox) дорівнює нулю:

0.

Тоді = 0, звідки Q_x = const.

Таким чином, якщо сума проекцій всіх зовнішніх сил, що діють на будь-яку вісь, дорівнює нулю, то проекція кількості руху системи на цю вісь є сталою величиною.

Одержані наслідки і визначають закон збереження кількості руху системи. З них випливає, що внутрішні сили змінити кількість руху системи не можуть.

Розглянемо приклад застосування теореми про зміну кількості руху системи для розв’язування задач.

По горизонтальній платформі, яка рухається по інерції зі швидкістю v ₀, переміщується візок з постійною відносною швидкістю и ₀. В деякий момент часу візок був загальмований. Визначити швидкість v платформи з візком після його зупинки, якщо М – маса платформи, а m – маса візка.

Зміна швидкості платформи при гальмуванні візка обумовлена дією сили тертя, яка гальмує візок і передається на платформу з протилежним знаком. Ця сила попередньо невідома. Тому будемо розглядати візок і платформу як механічну систему, тоді вказана сила стане внутрішньою.

Прикладемо до системи зовнішні сили: сили ваги візка і платформи і та реакцію (рис. 6.2). Оскільки всі сили вертикальні, то має місце закон збереження кількості руху системи відносно осі х і, відповідно

dQ_x / dt = 0, тоді Q_x = const, або Q_{x 0} = Q_{x 1}.

Знайдемо кількість руху системи для початкового і кінцевого положення:

Q_{x 0} = Mv ₀ + m (u ₀ + v ₀); Q_{x 1} = (M + m) v.

Прирівнявши одержані вирази та розв’язавши рівняння відносно v, одержимо:

Отже, швидкість платформи зросте.

З викладеними в лекції питаннями можна більш детально ознайомитись за підручником С.М. Тарга: теорема про рух центру мас – с. 274-276; закон збереження руху центру мас – с. 276-277; знаходження переміщення однієї з частин системи за переміщеннями інших її частин – с. 278-279; кількість руху матеріальної точки та механічної системи – с. 201-202, 280-281; теорема про зміну кількості руху точки – с. 202-203; теорема про зміну кількості руху механічної системи – с. 281-282; закон збереження кількості руху – с. 282-283.

Питання для самоконтролю

1. Сформулюйте теорему про рух центру мас механічної сис­теми.

2. Запишіть рівняння теореми про рух центру мас в проекціях на осі прямокутної декартової системи координат.

3. Сформулюйте закон збереження руху центру мас.

4. Запишіть вираз для знаходження переміщення одного з тіл механічної системи за переміщеннями інших тіл. При виконанні яких умов він справедливий?

5. Що називається елементарним імпульсом сили та що він ха­рактеризує?

6. Яку величину називають імпульсом сили за заданий конечний проміжок часу?

7. Сформулюйте теорему про зміну кількості руху матеріальної точки за нескінченно малий проміжок часу.

8. Запишіть математичний вираз і сформулюйте теорему про зміну кількості руху матеріальної точки за конечний проміжок часу.

9. Що називається кількістю руху механічної системи?

10. Як кількість руху механічної системи виражається через швидкість центру мас?

11. Запишіть вираз теореми про зміну кількості руху механічної системи в диференціальній формі.

12. Запишіть вираз теореми про зміну кількості руху механічної системи в інтегральній формі.

13. Сформулюйте наслідки з теореми про зміну кількості руху механічної системи.

Лекція Д7