Додавання взаємно перпендикулярних гармонічних коливань

Мета роботи – засвоїти метод градуювання звукового генератора за допомогою складання взаємно перпендикулярних коливань.

Прилади та пристрої: електронний осцилограф, звуковий генератор, генератор стандартних сигналів.

Короткі теоретичні відомості

Частоту невідомого гармонічного коливання часто визначають методом фігур Ліссажу. Для цього до досліджуваного коливання додаються взаємно перпендикулярні коливання відомої частоти. У загальному випадку в результаті додавання отримують криві складної форми, що називаються фігурами Ліссажу, за видом яких можна визначити частоту досліджуваної напруги. В цій роботі на пластини вертикального відхилення електронного осцилографа подається досліджувана напруга від джерела коливань звукової частоти, а на пластини горизонтального відхилення – напруга від генератора стандартних сигналів. Завдяки цьому електронний пучок одночасно коливається у двох взаємно перпендикулярних напрямах.

Розглянемо два взаємно перпендикулярних коливання x і y з циклічними частотами і :

(33.1)

де – початкова різниця фаз між коливанням. Очевидно,

Система рівнянь (33.1) у параметричній формі задає траєкторію руху тіла, що одночасно коливається у двох взаємно перпендикулярних напрямах. Визначимо рівняння траєкторії точки, що бере участь у цих коливаннях, в явному вигляді, виключивши час із (33.1). Для цього рівняння перепишемо так:

(33.2)

Додавши до лівої та правої частин (33.2) уявну частину , отримаємо:

За формулою Муавра .

Тоді , або

(33.3)

Але , . Тому, підставивши ці значення у формулу (33.3), матимемо:

(33.4)

Розкладаючи за біномом Ньютона вираз у квадратних дужках і прирівнюючи дійсні частини ліворуч і праворуч, отримуємо рівняння траєкторії коливної точки.

Зупинимося на окремому випадку коливань з однаковими частотами . З формули (33.4) матимемо:

(33.5)

звідки

(33.6)

Це рівняння сім’ї еліпсів, характеристики яких визначаються різницею фаз .

Розглянемо окремі випадки (рис.33.1, 33.2):

Рис.33.1 Рис.33.2

1. Нехай коливання відбуваються з однаковими фазами, тобто . Тоді рівняння (33.6) набуває вигляду:

або

(33.7)

тобто еліпс переходить у пряму (див. рис.33.1).

Якщо різниця фаз , то і в цьому випадку еліпс вироджується в пряму.

2. Якщо різниця фаз між коливаннями дорівнює , то рівняння (7) набуває вигляду:

(33.8)

Отримали криву – еліпс, осі якого збігаються з осями координат (див. рис.33.2). Якщо амплітуди коливань однакові, еліпс вироджується в коло. Якщо , за загальним видом рівняння, отриманого з формули (33.4), важко зробити висновок про форму траєкторії.

Нехай показник степеня n у рівнянні (33.4) є число раціональне, тобто воно може бути подане у вигляді відношення двох цілих і :

(33.9)

Із системи рівнянь (33.1) випливає, що

де , – відповідно циклічна частота і період коливань в напрямі осі x; , – відповідно циклічна частота і період коливань в напрямі осі у.

Перепишемо останнє співвідношення у вигляді .

Отже, за проміжок часу точка здійснює повних коливань в напрямі осі і повних коливань в напрямі осі .

Після проходження часу точка буде в тій самій фазі, що і в початковий момент, тобто за наступний проміжок часу коливання так само повторяться.

У результаті коливання будуть накладатись самі на себе і дадуть стійку картину (фігури Ліcсажу). Якщо ж одне з чисел або ірраціональне, тобто n не може бути подане у вигляді відношення цілих чисел, то виникає додаткова різниця фаз, завдяки чому траєкторія руху точки неперервно змінюватиметься. Якщо частота одного з коливань відома, то за виглядом фігури Ліссажу визначають частоту іншого. Таке порівняння частот можна здійснити осцилографічним методом, подаючи на пластини горизонтального відхилення напругу з відомою частотою , а на вертикально відхиляючі – досліджувану напругу з частотою . Враховуючи, що ω=2πν

тоді

(33.10)

Виведемо правило знаходження відношення частот за фігурами Ліссажу. Враховуючи (33.10), перепишемо вираз (33.4) у вигляді

Покладемо . Тоді, розкладаючи ліву і праву частини за біномом Ньютона та прирівнюючи дійсні частини, отримаємо рівняння - го степеня відносно у, що має коренів. Графічно це означає, що вісь у перетинає криву разів. Якщо , де – довільна стала, отримаємо також рівняння, що має коренів. Фігура Ліссажу буде перетинати будь-яку пряму, паралельну осі y, разів. Поклавши , отримаємо рівняння - го степеня відносно x, тобто крива перетинатиме пряму, паралельну осі x, разів. Звідси випливає таке правило знаходження частот. Проводять через дану фігуру дві довільні взаємно перпендикулярні прямі AB і CD, паралельні осям х і y (рис.33.3). Підраховують число точок перетину кривої з прямими CD () і AВ (). У випадку = 3 і = 1 (рис.33.3), тобто

Якщо пряма проходить через точку перетину віток кривої, при відліку її рахують двічі (така точка відповідає кратним кореням).