Кредитование

Простые ставки процентов. Пусть начальный момент равен нулю, Т – базовый период, t – фактический период действия сделки, называемый конверсионным периодом или периодом начисления, S(o) – начальная сумма, S(t) – конечная сумма, получаемая кредитором в момент t. Если годовой интерес (ставка) равна r, то в конце фактического срока сделки t дебитор должен заплатить кредитору сумму

, (2.8)

где t и Т измеряются в днях. При этом согласно договору, используется либо точная длительность года – 365 или 366 дней (точные проценты), либо приближенная длительность года – 360 дней = 12 месяцев ´30 дней (обычные проценты).

В ряде случаев удобно использовать упрощенную форму записи формулы простых процентов в виде:

, (2.9)

где фактический период действия сделки t измеряются в годах. При этом переход от длительности сделки в днях к длительности сделки в годах производится по схемам обычных или точных процентов.

Таким образом, в формуле (2.9), описывающей финансовую операцию, присутствуют четыре параметра. Можно задать любые три параметра, а четвертый параметр считать неизвестным. Определить его можно из уравнения (2.9).

В соответствии с этим возникают различные экономические задачи, которые будут рассмотрены ниже.

Пример 4.

Выдан кредит на сумму 2 млн руб. с 15.01.2010 г. по 15.03. 2010 г. под

40 % годовых. В зависимости от договора сумма погасительного платежа различна. При точном расчете t=16 дней (январь) + 28 дней (февраль) +15 дней (март) = 59 дней согласно (2.8) имеем:

млн руб.

Приближенный расчет по обычным процентам дает согласно (2.8) t=60 дней:

млн руб.

Сумма платежа по обычным процентам всегда больше чем по точным процентам.

Пример 5.

Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 60 млн руб. достигнет 63 млн руб. через квартал.

Из формулы простых процентов (2.9) для ставки r имеем:

Подставляя соответствующие числовые значения, получим:

Пример 6.

Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 38 млн руб. вырастет до 40 млн руб., если используется простая ставка процентов 12 % годовых.

Из формулы простых процентов (2.9) для времени t имеем:

Тогда, подставляя соответствующие числовые значения, получим:

Пример 7.

Кредит выдается под простую ставку 16 % годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму процентных денег, если требуется возвратить 50 млн руб.

Из формулы простых процентов (2.9) имеем:

Следовательно, сумма, получаемая заемщиком равна:

S(0)=50/(1+0,16·250/360)= 45 млн руб.,

Сумма процентных денег равна 5 млн руб.

Задача 2.

Ссуда в размере 50 тыс. руб. выдана на полгода по простой ставке процентов 28 % годовых. Определить наращенную сумму.

Ответ.

57 тыс. руб.

Задача 3.

Кредит в размере 10 млн руб. выдан 2 марта до 11 декабря под 30 % годовых, год високосный. Определить размер наращенной суммы для различных вариантов расчета процентов: точное число дней ссуды и точная длительность года 366 дней; точное число дней ссуды и приближенная длительность года 360 дней; приближенные число дней ссуды и длительность года.

Ответ.

12327868 руб.;

12366666 руб.;

12333333 руб.

Задача 4.

Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 25 млн руб. вырастет до 40 млн руб., если используется простая ставка процентов 28 % годовых.

Ответ.

t=2,14 года.

Задача 5.

Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 24 млн руб. достигнет 30 млн руб. через год.

Ответ.

r=25 %.

Задача 6.

Кредит выдается под простую ставку 26 % годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму процентных денег, если требуется возвратить 40 млн руб.

Ответ.

33,955857 млн руб.;

6,044143 млн руб.

Задача 7.

В течение первого месяца цена товара увеличилась на 25 %, а в течение следующего месяца цена товара возвратилась к первоначальному уровню. На сколько процентов уменьшилась новая цена товара?

Ответ.

На 20 %.

Задача 8. Переменная ставка простых процентов.

За время хранения вклада меняются величины процентных ставок. Пусть в периоды времени n₁, n_{2, …} n_m процентные ставки составляют r₁, r₂,… r_m. Найти наращенную сумму S(t), если начальный вклад равен S(0).

Ответ.

При расчетах по среднесрочным и долгосрочным кредитам используется схема сложных процентов.

Сложные проценты. Пусть длительность сделки t кратна базовому периоду Т, т. е. t целое число. При базовом периоде Т = 1 год, длительность сделки целое число лет t. Тогда наращенная сумма равна:

, (2.10)

где

S(0) – начальная сумма,

r – процентная ставка за год (интерес).

Очевидно, что зависимость суммы S(t) от времени t при расчете по схеме простых процентов (2.9) линейная, при расчете по схеме сложных процентов нелинейная (является показательной функцией от t), и, как будет показано ниже, в ряде случаев эта зависимость хорошо апроксимируется экспонентой.

Формула (2.10) может использоваться для расчета по сложным процентам при любой длительности сделки t так, как показательная функция определена при любых значениях t.

Пример 8.

Первоначальная вложенная сумма равна 200 тыс. руб. Определить наращенную сумму через пять лет при использовании простой и сложной ставки процентов в размере 28 % годовых. Рассмотреть случаи, когда сложные проценты начисляются ежегодно, по полугодиям и поквартально. Для простых процентных ставок имеем:

тыс. руб.

Для сложных годовых процентов:

тыс. руб.

Для сложных полугодовых начисленных процентов:

тыс. руб.

Для поквартального начисления сложных процентов:

тыс. руб.

Обобщая пример 5, рассмотрим задачу вычисления процентной суммы S(t) через t лет в случае, когда проценты начисляются m раз в год. Сумма S(o) выдана под r процентов годовых с начислением сложных процентов m раз в год. Воспользовавшись формулой (2.10), для этого случая очевидно имеем:

. (2.11)

Представляет интерес рассмотрения предельного случая при m®¥, тогда сложные проценты начисляются непрерывно. Используя замечательный предел

,

где – основание натуральных логарифмов (число «е»), получим:

.

Таким образом, если сложные проценты начисляются непрерывно, наращенная сумма экспоненциально зависит от времени и равна:

(2.12)

Наращение суммы при непрерывном начислении процентов идет более быстрым темпом, чем при начислении сложных дискретных процентов.

Для примера 5 в случае непрерывного исчисления имеем:

тыс. руб.

Смешанные или комбинированные проценты. Пусть Т – базовый период, а t – фактическая длительность сделки. Всякое число можно представить в виде суммы целой и дробной части:

,

где

– обозначает целую часть числа;

– дробную часть числа.

Разобьем длительность сделки в годах на целую и дробную часть . Обозначим для простоты и , тогда .

Используя приведенные обозначения, для наращенной суммы, вычисленной по схеме комбинированных процентов, имеем:

, (2.13)

где

k – целая часть или целое число лет в длительности сделки;

t – дробная часть длительности сделки .