Интерполяция и фильтрация данных

Первичная информация относится к определенным точкам пространства и моментам времени. Разумеется, математическая точка - абстрактное понятие, она длины, ширины и высоты не имеет. Поэтому на самом деле элемент данных характеризует определённый объём пространства. Поскольку расстояния между этими объёмами обыкновенно на много порядков больше их собственных размеров, то в естественных науках укоренилось применение термина «точка». Говорят о точках пространства и поверхности, если интересует лишь двумерное распределение исследуемой величины. Развитие методов космического зондирования Земли позволяет определять с достаточной точностью лишь некоторые геоэкологические параметры. В большинстве случаев требуется непосредственное измерение или отбор проб. Поэтому приходится на основании данных о величине какого-либо параметра в ряде точек создавать поле непрерывного распределения этого параметра для области пространства или поверхности. Аналогично и с временной изменчивостью: несмотря на развитие информационных систем, в которых реализовано автоматизированное непрерывное измерение параметров окружающей среды, в большинстве случаев приходится иметь дело с результатами дискретных измерений (определений). Поэтому возникает необходимость каким-то образом определить значения исследуемой величины в интервалах времени между моментами измерений.

Таким образом, в геоэкологических исследованиях неизбежны одномерная и многомерная интерполяции: определение значений параметра в областях между точками с известными значениями. Если же необходимо по данным о значениях какого-либо параметра внутри определенной области пространства получить значения этого параметра вне данной области, то здесь мы имеем дело с экстраполяцией. Примеры одномерной интерполяции: определение временной изменчивости по данным дискретных измерений; зависимость содержания загрязняющего вещества в среде от расстояния до его источника (в этом случае все точки отбора проб должны располагаться на одном «луче» от источника). В обоих случаях необходимо получить функцию зависимости величины параметра от одного аргумента: времени или расстояния. Двумерная интерполяция по земной поверхности – здесь уже два аргумента: координаты “x” и “y” (в частном случае – широта и долгота). При трехмерной интерполяции по пространству добавляется высота (глубина) “z”. Методы двух- и трехмерной интерполяции реализованы в геоинформационных системах (ГИС) и некоторых программных пакетах (например, пакете Surpher).

Существующие методы интерполяции были разработаны в 18-19 веках, когда требовались многочисленные расчеты по известным, но очень громоздким формулам, например, в навигации, картографии, судостроении и т.д. С целью упрощения расчетов стали издаваться таблицы с результатами для определённых значений аргументов, называемых узлами. Величину функции для значений аргумента, расположенных между узлами предлагалось вычислять при помощи интерполяционных формул, которые были значительно проще. Здесь возможно определить точность получаемых значений, вернее, задаваемый критерий точности диктовал метод интерполяции. При естественнонаучных исследованиях все гораздо сложнее: нам известны только значения функции в узлах, но нам неизвестна сама функция. Приходится опираться лишь на накопленный опыт (т.н. «здравый смысл»), что отнюдь не гарантирует нас от ошибок. Так, например, если температура воздуха на Большом проспекте Васильевского острова равна 0ºC, а на Малом - +1ºC, то значение температуры воздуха на Среднем проспекте, равное +20ºC представляется совершенно невозможным. Однако лишь применение непрерывной эхолокации океанического дна в середине 20-го века позволило совершить важнейшее географическое открытие прошлого века: выявить систему подводных срединно-океанических хребтов. Применявшиеся ранее методы интерполяции результатов дискретных определений глубин в отдельных точках «проглядели» этот природный феномен планетарного масштаба.

При определении метода интерполяции необходимо решить четыре вопроса. Первый: какие узлы использовать? В нашем случае это вопрос планирования полевых исследований: на каком расстоянии друг от друга следует располагать точки измерений (отбора проб) и как часто проводить измерения в одной точке. Очевидно, что существуют характерные для каждой геосистемы критические расстояния и временные интервалы, превышение которых не позволит собрать первичную информацию, достаточную для адекватного выявления пространственно-временной динамики этой геосистемы. Решение этого вопроса требует досконального изучения характеристик изучаемой геосистемы и её аналогов. Вновь открытые во время исследований факты могут привести к изменению пространственно-временной сетки узлов. Оптимизация последующего интерполирования данных требует равномерности распределения узлов: временные интервалы и расстояния между точками должны быть насколько это возможно одинаковыми. Второй вопрос: какова необходимая точность интерполяции? Поскольку в нашем случае реальные значения исследуемого параметра вне узлов нам в принципе неизвестны, то можно говорить лишь о точности в узлах. Третий вопрос: какой критерий согласия использовать? Часто применяется критерий совпадения значений аппроксимирующей функции со значениями в узловых точках, т.е. значения в моментах измерений и их точках должны остаться прежними. Другой применяемый критерий – «наименьших квадратов». Он не требует совпадения в узлах значений аппроксимирующей функции с результатами натурных измерений, но требует, чтобы сумма квадратов их разностей была минимальна. Критерий Чебышева требует минимизации максимального отклонения. Другие критерии стремятся добиться гладкости интерполирующей функции, т.е. требуют существования как минимум второй производной. Возможны комбинации критериев. Четвёртый вопрос: какой класс аппроксимирующих функций следует применять? Существует три возможности: линейные комбинации функций x, … xⁿ, или многочлены степени n; гармонические функции (cos a_ix, sin a_ix); экспоненциальные функции.

Первое, что обыкновенно приходит в голову при компьютерной обработке данных – линейная интерполяция: значения в узлах соединяются между собой отрезками прямой. Однако при этом в узлах образуются изломы, что эстетически глаз не радует во-первых, а во-вторых искажает природные закономерности: в реальности во времени и пространстве существуют переходные зоны, обеспечивающие плавность временных и пространственных изменений. Кроме того, в узлах образуются разрывы производной интерполируемого параметра. Поэтому переходят к другим методам интерполяции, обеспечивающим гладкость результирующей изменчивости. Однако зачастую выполнение этого требования приводит к тому, что между узлами функция может принимать совершенно невозможные с точки здравого смысла величины.