Нелинейность функции преобразования

Нелинейность функции преобразования является одной из составляющих систематической погрешности измерительного устройства или отдельного преобразователя.

Нелинейностью называется экстремальное отклонение функции преобразования от линейной зависимости в пределах диапазона измерения

.

Исходными данными для расчета являются:

- функция преобразования Y = f(X);

- нижний и верхний пределы измерения по входу X_н и X_в(см. рис. 3.8).

Расчет нелинейности ведется в следующей последовательности:

- находятся значения нижнего Y_н и верхнего Y_в пределов измерения по выходу:

Y_н = f(X_н),

Y_в = f(X_в);

- через точки с координатами (X_н;Y_н) и (X_в;Y_в), лежащие на кривой функции преобразования, проводится прямая, характеризующая линейную зависимость Y_л(X), и находится ее уравнение

(Y_л-Y_н) / (Y_в-Y_н) = (X-X_н) / (X_в-X_н);

Y_л(X) = ((Y_в-Y_н) / (X_в-X_н)) · (X-X_н) +Y_н;

, (3.29)

где – средняя чувствительность:

; (3.30)

- устанавливается закон изменения нелинейности в пределах диапазона измерения:

; (3.31)

- нелинейность для любого значения входного сигнала X_i находится его подстановкой в формулу (3.31):

; (3.32)

- находим экстремальное значение нелинейности подстановкой корней X_к уравнения

в формулу (3.31):

. (3.33)

Рассчитаем по этим формулам нелинейности функций преобразования синусного и тангенсного рычажных преобразователей (рис. 3.16).

В рычажных преобразователях рычаги сопрягаются со звеньями, совершающими поступательные перемещения, которые преобразуются в углы поворотов рычагов. Названия преобразователей определяются их функциями преобразования:

– в синусном преобразователе (рис. 3.16 а)

,

где q₃ – длина синусного рычага 3,

или в явном виде

; (3.34)

– в тангенсном преобразователе (рис. 3.16 б)

,

где q₁ – условная длина тангенсного рычага, или расстояние от оси вращения рычага 3 до траектории поступательного перемещения центра сферы, принадлежащей штоку 2. Длина рычага q₁ фактически определяется расстоянием между направляющими штока 2 и шарниром рычага 3 в корпусе 1, или в явном виде

. (3.35)

а) синусный преобразователь; б) тангенсный преобразователь

Рис. 3.16. К выводу функций преобразования рычажных преобразователей

Внешним отличием синусного рычажного преобразователя является принадлежность сферы рычагу. В тангенсном преобразователе сфера принадлежит штоку 2, совершающему поступательное перемещение, а соприкасающаяся с ней плоскость – рычагу 3 со смещением относительно него на радиус сферы (в этом случае радиус сферы не входит в функцию преобразования).

Результаты расчетов нелинейностей функций преобразования рычажных преобразователей представлены на рис. 3.17 и в табл. 3.2

Рис. 3.17. Нелинейность функции преобразования синусного

и тангенсного рычажных преобразователей

Таблица3.2

Нелинейность функций преобразования рычажных преобразователей

Тип рычажного преобразователя	Пределы измерения по выходу при нелинейности
±0,1%	±1%	±10%
Синусный
Тангенсный

Если воспользоваться теорией функций наилучшего приближения академик П.Л. Чебышева [3] и его полиномами, наименее отклоняющимися от нуля в заданном промежутке (рис. 3.18 и таблицы 3.3 – 3.5), то можно уменьшить в два раза нелинейность погрешностей рычажных преобразователей от нелинейности их функций преобразования.

Для этого на рис. 3.18 б находим полином, график которого совпадает с графиком изменения нелинейностей функций преобразования синусного и тангенсного рычажных преобразователей (рис. 3.17). Таким полиномом будет только полином третьей степени P₃(x).

Из табл. 3.3 находим, что корнями полинома являются x_к = ±0,866, при которых полином принимает нулевые значения, а наибольшее отклонение имеет место в точках ±0,5 и ±1 промежутка –1;+1. Переходя к нелинейностям функций преобразования, это означает, что если отрегулировать чувствительность S рычажного преобразователя (изменением длины рычага) так, чтобы при входных сигналах X_i = ±0,866X_п погрешности от нелинейности будут равны нулю, то значение нелинейности погрешности на всем диапазоне измерения уменьшится в два раза и будет экстремальным в серединах пределов измерений ±0,5X_п и на концах диапазона измерения ±X_п.

На практике такой способ регулировки погрешностей преобразователей получил название способа половинения погрешности.

а) общий вид полинома в промежутке [а, b];

б), в) полиномы P_n(x) в промежутке –1;+1;

г), д) полиномы P_п(x) в промежутке 0;1;

е) полиномы Q_2n(x) в промежутке –1;1

Рис. 3.18. Полиномы Чебышева, наименее отклоняющиеся от нуля

Выведем функцию преобразования и определим ее нелинейность для двуплечего рычажного преобразователя, представленного на рис. 3.19 а. Из структурной схемы (рис. 3.19, б) видно, что двуплечий преобразователь включает два простых одноплечих: в первом синусном преобразователе входной сигнал X преобразуется в угол поворота рычага α по функции преобразования

, (3.36)

где q_c – длина синусного рычага;

а во втором – тангенсном – угол поворота α преобразуется в выходной сигнал Y₂ по функции преобразования:

, (3.37)

где – длина тангенсного рычага;

r – радиус сферы тангенсного преобразователя.

а) принципиальная схема; б) структурная схема; в) функция преобразования

Рис. 3.19. Нелинейность функции преобразования двуплечего

синусно-тангенсного рычажного преобразователя

Таблица 3.3

Полиномы P_n(x)

n	Pn(x)	Наибольшее отклонение от нуля в промежутке (–1;+1)	Точки наибольшего отклонения xi	Корни xк полинома
		0,5000	0; ±1	±0,7071
		0,2500	±0,5000; ±1	0; ±0,8660
		0,1250	0; ±0,7071; ±1	±0,3827; ±0,9239
		0,0625	±0,3090; ±0,8090; ±1	0; ±0,5878; ±0,9511

Таблица 3.4

Полиномы R_n(x)

n	Rn(x)	Наибольшее отклонение от нуля в промежутке (0;1)	Точки наибольшего отклонения xi	Корни xк полинома
		0,1716	0,4142; 1	0; 0,8284
		0,0385	0,1961; 0,7320; 1	0; 0,4641; 0,9282
		0,0091	0,1127; 0,4802; 0,8478; 1	0; 0,2813; 0,6791; 0,9604
		0,0022	0,0728; 0,3291; 0,6458; 0,9021; 1	0; 0,1862; 0,4875; 0,7887; 0,9749

Таблица 3.5

Полиномы Q_2n(x)

2n	Q2n(x)	Наибольшее отклонение от нуля в промежутке (–1;+1)	Точки наибольшего отклонения xi	Корни xк полинома
		0,1716	±0,6436; ±1	0; 0,9102
		0,0385	±0,4429; ±0,8556; ±1	0; ±0,6813; ±0,9634

Функция преобразования всего синусно-тангенсного двуплечего рычажного преобразователя будет иметь вид

. (3.38)

Функция преобразования является нелинейной, расчет нелинейности осуществляется по вышеприведенной методике. Графическая интерпретация решения для пределов измерения X_н, X_в представлена на рис. 3.19 в.

Учитывая широкое применение двуплечих рычажных преобразователей, сформулируем правила их проектирования, при соблюдении которых функция преобразования будет линейной [55]:

. (3.39)

1) Оба плеча рычага должны быть либо синусными, либо тангенсными.

2) Центры сфер в начальном положении должны располагаться на перпендикулярах (теоретических рычагах), опущенных из оси вращения рычага на направление поступательного перемещения сопрягаемых звеньев (рис. 3.20, а), или могут быть смещены относительно них в одну сторону по углу поворота на отклонения а_вх, а_вых, пропорциональные длинам плеч q_вх, q_вых:

, (3.40)

а соприкасающиеся со сферами рабочие плоскости должны быь параллельны теоретическим рычагам. Радиусы сфер при этом могут быть любыми (рис. 3.20, б).

3) Длины плеч рычагов должны отсчитываться в начальном положении по теоретическим рычагам как расстояние от осей вращения рычагов до проекций центров сфер на теоретические рычаги.

В двуплечем рычажном преобразователе (см. рис. 3.19) нелинейность функции преобразования объясняется нарушением сразу двух правил: во-первых, входной рычаг является синусным, а выходной – тангенсным, и во-вторых – центр сферы синусного рычага не смещен относительно теоретического рычага, а центр сферы тангенсного преобразователя – смещен.

Соблюдая правила проектирования, можно получить линейную функцию преобразования всего двуплечего рычажного преобразователя, несмотря на нелинейность функции преобразования входящих в его структуру одноплечих рычажных преобразователей (рис. 3.21).

а), б) без смещения центров сфер относительно теоретических рычагов;

в), г) со смещения центров сфер относительно теоретических рычагов

Рис. 3.20. Принципиальные схемы двуплечих рычажных преобразователей с линейной функцией преобразования

а) принципиальная схема; б) структурная схема; в) построение функции преобразования двуплечного рычажного преобразователя

по функциям преобразования составляющих синусных преобразователей

Рис. 3.21. Двуплечий синусный рычажный преобразователь

Действительно, функция преобразования входного преобразователя имеет вид

,

а выходного

,

где ψ – фазовый угол выходного рычага относительно входного; ψ = 180^о.

Тогда

.

Следовательно, функция преобразования всего двуплечего рычажного преобразователя будет линейной:

.

Рис. 3.22. Двуплечий рычажный преобразователь

для малых углов поворота рычага

При малых углах поворотов рычагов (3…4^о), нелинейность функции преобразования не превышает 0,1% от предела измерения (табл. 3.2). В этих случаях действуют более простые правила:

1) плечи рычагов могут быть и синусными, и тангенсными;

2) соприкасающиеся со сферами плоскости должны совпадать с теоретическими рычагами (рис. 3.22).