Номинальная и эффективная ставки процентов

Номинальная ставка. В контрактах на получение кредитов часто предусматривается капитализация процентов несколько раз в году – по полугодиям, кварталам, иногда помесячно.

Однако на практике, в большинстве случаев, указывается не квартальная или месячная процентная ставка, а годовая ставка, которая называется номинальной. Кроме того, указывается число периодов (m) начисления процентов в году. Тогда для начисления процентов m раз в году используется формула

где Е – номинальная годовая процентная ставка; m – число периодов начисления процентов в году; t – число лет операции; t ∙ m – число периодов начисления процентов за весь срок контакта.

Пример 4.9. Получен кредит в размере 150 млн руб. сроком на два года, под 15 % годовых; начисление процентов производится ежеквартально. Определить наращенную сумму, подлежащую возврату.

При увеличении числа периодов начисления процентов возрастает темп прироста наращения. Так, например, если в условие предыдущей задачи внести изменение и начисление процентов производить ежемесячно, то наращенная сумма будет равна

Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, а начисление процентов производится раз в году, то наращенная сумма может быть определена или по общей формуле, используемой при начислении сложных процентов, или по смешанному методу. В последнем случае наращенная сумма определяется по формуле

где t ∙ m – число полных периодов начисления процентов; а – дробная часть одного периода начисления процентов.

Пример 4.10. На сумму 60,0 млн руб. ежеквартально по ставке 12 % годовых начисляются сложные проценты в течение 14 месяцев. Определить величину наращенной суммы двумя методами.

Решение:

Общее число периодов начисления процентов составляет

где 3 – количество месяцев в квартале.

t ∙ m = 4 ∙ 1 = 4

а = 4,667 – 4 = 0,667

По сложному проценту

По смешанному методу наращенная сумма будет равна

Эффективная ставка при начислении сложных процентов m раз в году. Эффективная ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получит кредитор в целом за год. Для инвестора это реальная величина относительных расходов за использование полученного в кредит капитала. Иначе говоря, эффективная ставка отвечает на вопрос: какую годовую ставку сложных процентов необходимо установить, чтобы получить такой же финансовый результат, как и при m-разовом начислении процентов в году по ставке .

Если обозначить эффективную ставку Е_с, то ее величину можно определить по формуле

т.е. эффективная процентная ставка больше номинальной.

Из этого же выражения следует, что

Пример 4.11. Определить эффективную ставку сложных процентов с тем, чтобы получить такую же наращенную сумму, как и при использовании номинальной процентной ставки 18 % при ежеквартальном начислений процентов (m = 4).

Решение:

Проверим этот расчет. Предложим, что получен кредит в размере 40 млн руб. по ставке 19,25% годовых (сложные проценты) на срок два года. Наращенная сумма кредита будет равна

Изменим условия примера. Кредит в размере 40 млн руб. предоставлен на два года под 18 % годовых с ежеквартальным начислением процентов. В этом случае

Как видим, наращенные суммы оказались равны между собой, т.е. две ставки Е_с и Е эквивалентны в финансовом отношении.

4.1.3. Приведенная (дисконтированная) стоимость

Термин "дисконтирование" в финансовом менеджменте употребляется весьма широко. Под этим термином может пониматься способ нахождения текущей величины PV на некоторый момент времени при условии, что в будущем при начислении на нее процентов она могла бы составить наращенную сумму FV. Величину PV, найденную дисконтированием наращенной величины FV, называют современной или приведенной величиной. С помощью дисконтирования в финансовых вычислениях учитывается фактор времени.

При дисконтировании решается задача, обратная определению наращенной суммы (рис.4.1.). Сформулируем ее следующим образом: какую сумму необходимо положить в банк или инвестировать другим способом на t лет, чтобы при начислении на нее процентов по ставке Е получить наращенную сумму, равную FV.

Для решения этой задачи используются формулы наращения по простой или сложной процентной ставке, и тогда текущая стоимость PV, определенная по простой процентной ставке

по сложной процентной ставке:

,

где и - дисконтные множители, показывающие, во сколько раз первоначальная сумма меньше наращенной.

Таким образом, под дисконтированием понимают определение текущей (современной) стоимости денежной величины по ее известному значению в будущем, исходя из заданной процентной ставки.

При начислении процентов m раз в году значение приведенной величины PV определяется по формуле

Пример 4.12. Через один год владелец векселя, выданного коммерческим банком, должен получить по нему 10 млн руб. Какая сумма была внесена в банк в момент приобретения векселя, если доходность векселя должна составить 25,0% годовых?

Решение:

Пример 4.13. Определить современную величину 20,0 млн руб., которые должны быть выплачены через 4 года. В течение этого периода на первоначальную сумму начислялись сложные проценты по ставке 20% годовых.

Решение:

Если же начисление процентов производилось ежеквартально, то современная величина будет равна

Современная величина, являясь одной из основных характеристик, используемых в финансовом анализе, требует рассмотрения ее основных свойств.

Одно из этих свойств заключается в том, что величина процентной ставки, по которой производится дисконтирование, и современная величина находятся в обратной зависимости. То есть, чем выше процентная ставка, тем меньше современная величина при прочих равных условиях.

Пример 4.14. Определить, какую сумму необходимо поместить на депозит, чтобы через три года владелец получил 15 млн руб. Применяемые процентные ставки:

а) 20% годовых;

б) 30% годовых.

Решение:

Вышеперечисленными формулами пользуются, если денежный поток осуществляется в виде разовых платежей, например, для таких операций, как операции с депозитами, облигациями, векселями и т.д.

Большинство же финансовых операций представляет собой поток последовательных платежей.

4.1.4. Постоянные потоки платежей

Инвестирование средств в различные проекты, создание денежных фондов целевого назначения, погашение среднесрочной и долгосрочной банковской задолженности и т.п. в большинстве случаев предусматривают выплаты, производимые через определенные промежутки времени. При этом возникает ряд последовательных платежей, которые обычно именуют потоком платежей.

Ряд последовательных фиксированных платежей, производимых через равные промежутки времени, называется финансовой рентой или аннуитетом.

Финансовая рента (далее рента) может быть охарактеризована рядом параметров:

· члены ренты – величина каждого отдельного платежа;

· период ренты – временной интервал между платежами;

· срок ренты – время от начала реализации ренты до момента поступления последнего платежа;

· процентная ставка – ставка, используемая для расчета наращения или дисконтирования платежей, составляющих ренту.

Кроме перечисленных параметров, рента характеризуется: количеством платежей в течение года, частотой начисления процентов (т.е. количеством периодов в году, когда начисляются проценты), моментом производства платежей (в начале, середине или в конце года) и др.

Ренты, по которым платежи производятся раз в году, называются годовыми. При производстве платежей нeскoлько раз в году (P paз) ренты называются Р-срочными. Кроме того, встречаются ренты, у которых период между платежами может превышать год. Все перечисленные ренты называются дискретными.

Наряду с дискретными встречаются ренты, у которых платежи производятся так часто, что их можно рассматривать как непрерывные. Они так и называются – непрерывные ренты.

В зависимости от частоты начисления процентов различают ренты с начислением процентов один раз в год, несколько раз в году (m раз) и с непрерывным начислением.

С точки зрения стабильности размера платежей ренты подразделяются на постоянные (платежи – члены ренты – равны между собой) и переменные. Рента, выплата которой обусловлена наступлением какого-либо события, называется условной. Примером условной ренты могут служить страховые взносы, вносимые до наступления страхового случая.

Ренты могут иметь конечное число членов (ограниченные ренты) и бесконечное число членов (вечные ренты). Так, например, правительствами ряда стран выпускаются облигационные займы без ограничения срока погашения. Доходы по этим облигациям, выплачиваемые через определенные промежутки времени, являются членами вечной ренты.

По моменту, с которого начинается реализация рентных платежей, ренты делятся на немедленные, когда платежи производятся сразу же после заключения контракта, и отложенные (отсроченные), срок реализации которых откладывается на указанное в контракте время.

По моменту выплаты членов ренты последние подразделяются на обычные (постнумерандо), в которых платежи производятся в конце соответствующих периодов (года, полугодия и т.д.), и пренумерандо, в которых платежи осуществляются в начале этих периодов. Встречаются также ренты в которых предусматривается поступление платежей в середине периода.

Обобщающими показателями ренты являются: наращенная сумма и современная (приведенная) величина.

Наращенная сумма – сумма всех членов потока платежей (аннуитетов) с начисленными на них процентами на конец срока, т.е. на дату последней выплаты. Наращенная сумма показывает, какую величину будет представлять капитал, вносимый через равные промежутки времени в течение всего срока ренты вместе с начисленными процентами.

Современная величина потока платежей – сумма всех его членов, уменьшенная (дисконтированная) на величину процентной ставки на определенный момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему. Современная величина показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы, разбив ее на разные взносы, на которые начислялись бы установленные проценты в течение срока ренты, можно было обеспечить получение наращенной суммы.

Обобщающие характеристики ренты используются в финансовом анализе для экономической оценки инвестиционных проектов, планирования погашения задолженности, сравнения эффективности коммерческих контрактов и т.п.

4.1.4.1. Наращенная сумма обычной ренты

Изложение методов расчета наращенной суммы годовой ренты проиллюстрируем следующим примером.

Пример 4.15. Производственная фирма приняла решение о создании инвестиционного фонда. С этой целью в течение 5 лет в конце каждого года в банк вносится 50,0 млн руб. под 20% годовых с последующей их капитализацией, т.е. с прибавлением к уже накопленной сумме.

Примем обозначения: величина ежегодного взноса - К; процентная ставка - Е; срок ренты - t; период ренты (время между двумя платежами) - r.

Л*,5*

Представим эту финансовую операцию в виде следующей схемы:

Период взноса, год	Порядковый номер взноса
1-й	2-й	3-й	4-й	5-й
1-й год 2-й 3-й 4-й 5-й Итого	50,0 50,0 ∙ 1,2 50,0 ∙ 1,22 50,0 ∙ 1,23 50,0 ∙ 1,24 К(1+Е)4= =50(1+0,2)4= =50 ∙ 1,24=103,68	- - 50,0 ∙ 1,2 50,0 ∙ 1,22 50,0 ∙ 1,23 К(1+Е)3= =50∙1,23= =86,4	- - - 50,0 ∙ 1,2 50,0 ∙ 1,22 К(1+Е)2= =50∙1,22= =72	- - - - 50,0 ∙ 1,2 К(1+Е)= =50∙1,2= =60	- - - - 50,0 К=50

Всего: 372,08 млн руб.

Как видно из схемы, на вносимые платежи в течение всего срока ренты начисляются проценты в следующем порядке:

на 1-й взнос – 4 раза, т.е. .

на 2-й взнос – 3 раза, т.е. .

на 3-й взнос – 2 раза, т.е. .

на 4-й взнос – 1 раза, т.е. .

на 5-й взнос: проценты не начисляются, т.е. .

Таким образом, будущая (наращенная) сумма аннуитета FVA_t – это сумма всех членов потока платежей Р с начисленными на них процентами на конец срока, т.е. на дату последней выплаты. Она показывает, какую величину будет представлять капитал, вносимый через равные промежутки времени в течение всего срока ренты вместе с начисленными процентами:

,

где Р – ежегодный платеж; t – срок свершения операции; Е – норма дохода на капитал, или

,

где t_р – последний год свершения операций; t_i – рассматриваемый год.

Наращенная сумма к концу срока ренты составит сумму членов этого ряда, который, если его переписать в обратном порядке, является возрастающей геометрической прогрессией, где Р – 1-й член прогрессии, а величина (1+Е) – знаменатель прогрессии. Тогда сумму членов этого ряда, т.е. наращенную сумму ренты, можно определить по формуле

.

Величина является коэффициентом наращения ренты, который иногда называют также коэффициентом аккумуляции вкладов. Он показывает, во сколько раз наращенная сумма ренты больше первого члена ренты.

По данным предыдущего примера

млн руб.

Если рентные платежи вносятся один раз в год, а проценты начисляются несколько раз (m раз в год), то величина наращенной суммы аннуитета рассчитывается по формуле

.

Пример 4.16. Каждый год ежемесячно в банк помещается сумма 10 тыс. руб. под 12% годовых. Какова будет сумма к концу 4-го года?

тыс. руб.

4.1.4.2. Современная величина обычной ренты

Современная (текущая) величина обычной ренты – это сумма всех ее членов, уменьшенная (дисконтированная) на величину процентной ставки на определенный момент времени, совпадающий с началом потока платежей.

Современная (текущая) величина ренты показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы разбив ее на равные взносы, на которые начислялись бы установленные проценты в течение срока ренты, можно было бы обеспечить получение наращенной суммы.

Определение текущей стоимости денежного потока (аннуитета) покажем на примере.

Пример 4.17. Вы хотите в течение 4-х лет получать ежегодный доход в сумме 10 тыс. руб. Какую сумму сегодня необходимо положить в банк для этого, если годовая ставка процентов 10%?

Решение:

Рассмотрим схему:

Таким образом, текущая стоимость ренты есть сумма всех составляющих ее платежей, дисконтированных на момент начала операции:

, или

Следовательно, предыдущий пример решается таким образом:

тыс. руб.

Оценка современной величины ренты с равными членами Р может осуществляться по формуле

Пример 4.18. Фирмой планируется создание в течение трех лет фонда развития в сумме 150,0 млн руб. Фирма имеет возможность ассигновать на эти цели ежегодно 41,2 млн руб., помещая их в банк под 20% годовых (проценты сложные). Какая сумма потребовалась бы фирме для создания фонда в 150 млн руб., если бы она поместила ее в банк под 20% годовых?

Решение:

1. Рассчитываем текущую величину ренты с параметрами: Р=41,2; t=3; Е=20.

Действительно, если бы фирма имела возможность указанную сумму (86,79 млн руб.) поместить в банк на 3 года под 20% годовых, то наращенная сумма составила бы

2. Наращенная сумма аннуитета при ежегодных платежах в размере 41,2 млн руб. под 20% годовых составит:

До сих пор мы рассматривали денежные потоки с одинаковыми платежами. Однако большинство финансовых операций представляют собой денежные потоки в виде серии платежей произвольной величины. Типичными случаями их возникновения являются капитальные вложения в долгосрочные активы, выплата дивидендов по обыкновенным акциям за ряд лет и др.

Будущая стоимость такого потока платежей рассчитывается по формуле

Текущая стоимость такого потока платежей

где Р_i – платеж в году t_i.

Пример 4.19. Фирма в течение 4-х лет предполагает сформировать резервный фонд, для чего откладывает в банке под 10% годовых в 1-й год – 10 млн руб., 2-й год – 5 млн руб., 3-й год – 6 млн руб., 4-й год – 7 млн руб. Какова будет сумма к концу 4-го года?