Расчёт эффективности органов регулирования

Введение. Диффузионная теория неприменима для точного предсказания поглощения в сильно поглощающих материалах, которые применяются в стержнях системы СУЗ. Поэтому для расчёта эффективности таких «чёрных» стержней, ввиду высоких поглощающих способностей их материалов, необходимо использование других подходов. Приближения, которыми можно воспользоваться, это прямые расчёты с очень мелкой сеткой в недиффузионном приближении и, естественно, переход к теории решёток, в которой развит учёт гетерогенности.

Физическая картина этого явления может быть показана моделированием этой проблемы в подходе, рассматривающем чёрный стержень в диффузионной теории (необходимо дать толкование термина чёрный стержень). В ней расчёт реактивности, вносимой чёрным стержнем, может быть выполнен лишь приближённо путём введения эффективного сечения поглотителя с использованием коэффициента самоэкранирования F для поглотителя по формуле:

, (1)

в которой гомогенный и гетерогенный потоки нейтронов суть среднеобъёмные в рассматриваемой области (в зоне):

, , (2)

т.е. . В итоге интенсивность поглощения в зоне с поглотителем, для случая замены гетерогенного состава на гомогенизированный, равна:

, (3)

т. е. поток нейтронов уменьшается в F раз (что-то в формуле не согласуется). Так как F слабо зависит от детальных свойств окружающей стержень зоны, то его введение позволяет рассчитать F один раз для этой области и использовать в расчёте гомогенизированных сред путём «размазывания» блока поглотителя внутри окружающей среды. Для «серого» стержня этот способ работоспособен путём введения эффективного сечения поглощения.

Поглощающая поверхность. Изложение этого подхода может быть развёрнуто введением т. н. поглощающей поверхности. Пусть чёрный регулирующий стержень размещается в некоторой ограниченной области (индекс-1), окружённой со всех сторон бесконечной областью (индекс-2), содержащей однородный источник (случай цилиндрической геометрии).

Обычно для случая плоского реактора с чёрной плоской пластиной-регулятором в расчёте предполагается, что поток Ф_экстр. = 0 внутри пластины по формуле:

. (4)

Однако это уравнение для чёрного цилиндрического стержня использовать нельзя. Исследование граничных условий на поверхности чёрного цилиндрического регулирующего стержня дало следующие результаты:

(5)

где в общем случае (6)

- есть зависимость длины экстраполяции от радиуса цилиндра в длинах среднего свободного пробега нейтроонв. Очевидно, что при ≫ (в формулах отсутствует величина ) мы приходим к результату с одним слагаемым 0.7104/ .

Найдём решение диффузионного уравнения для внешней области этой задачи в цилиндрических координатах:

. (7)

Частное решение уравнения имеет вид: (8).

Общее решение в цилиндрических координатах имеет вид [5]:

, (9)

где I₀, K₀ – функции Бесселя, А и B – произвольные постоянные (в формулах (9 – 14) под обозначением «Щ» следует читать «ϰ») (следовало бы пояснить, что такое ϰ).

Так как внешняя зона предполагается бесконечной, то в решении должен (отсутствовать сингулярный член) присутствовать лишь один член, исчезающий при :

, (10)

в котором .

Полное решение, равное сумме общего и частного решений, имеет вид:

, (11)

где постоянная В определяется из граничного условия:

или .

В итоге получаем, что полный поток нейтронов в этой бесконечной области равен:

. (12)

И так как стержень чёрный, ток нейтронов, равный на границе , направлен внутрь стержня, а количество нейтронов, поглощённых за 1 сек. на единичной площади поверхности стержня 1 см², равно току нейтронов через эту поверхность:

. (13)

Количество нейтронов, поглощённых стержнем за 1 сек на единицу его длины, будет пропорционально длине его окружности 2 , т. е. равно .

Физический смысл этого результата заключается в том, что о тношение количества нейтронов, поглощённых в единице длины стержня, к числу нейтронов, рождённых в единице объёма(1см³) вне стержня от источника q, образует своего рода поглощающую поверхность стержня:

, (14)

(как отношение может определять поверхностьЮ оно совпадает по размерности) Определение поглощающей поверхности стержня было введено в 1955 г. Гурвитцем и Роу. Ими также были введены соотношения эквивалентности для более сложных геометрий стержня (для них от перейдём к ):

· чёрный крест: ;

· пластина: ;

· эллипс: ,

где - эффективный радиус эквивалентного цилиндра. Таким образом, определение чёрного регулирующего стержня длиной L может быть выражено через его поглощающую поверхность и использовано для оценки эффективного уменьшения его реактивности.

Пусть источником тепловых нейтронов, равномерно распределённым в замедлителе (вероятно, в размножающей среде), служит источник деления, величина которого равна . (15)

Тогда, определив величину поглощающей поверхности S_a, получаем количество нейтронов, поглощённых стержнем СУЗ длиной L за 1 сек, которое будет равно:

, (16)

где - увеличенное значение количества вторичных нейтронов для обеспечения равенства К_эфф=1. Определив эту величину в качестве (17)

и полагая , получим, что её приращение выразится следующим образом , (18)

что для небольших стержней () приводит к . (19)

Естественно, эти результаты являются всего лишь поправками к точному ответу. Эффективность одиночного стержня, при его погружении в активную зону на глубину от верхнего края активной зоны до нижнего края погружённой части стержня, может быть рассчитана по теории возмущений.

Граничное условие на поверхности поглощающего стержня чаще всего выражается в виде логарифмической производной, которая «происходит» из граничных условий для реактора без отражателя («голого» реактора). Если активная зона этого реактора граничит с вакуумом (а также с воздухом) или с абсолютно поглощающим - «чёрным» телом, то обратный ток нейтронов из вакуума в среду активной зоны отсутствует (в вакууме нейтроны не рассеиваются). Для такого тока нейтронов имеем:

, (20)

откуда получаем, что производная от потока нейтронов на границе активной зоны равна:

, (21)

или , (22)

где (23)

- длина линейной экстраполяции для реактора без отражателя, при которой на его экстраполированной границе .

Хотя вблизи границы с поглощающей поверхностью стержня происходит резкое изменение плотности потока нейтронов, диффузионной теорией можно воспользоваться, введя совпадающее по форме эффективное граничное условие на его поверхности S_a:

, (24)

где r_{стержня} - радиус поглощающей части цилиндрического стержня (блока). При этом, так как здесь принято, что длина линейной экстраполяции получена для тока нейтронов, направленного внутрь стерженя ( - числовой коэффициент), то - средний пробег нейтронов до рассеяния в среде вокруг стержня.

В общем случае величина этого числового коэффициента есть функция безразмерных параметров:

§ для гетерогенного блока;

§ для гомогенизированной среды. Он равен:

• 0.7104 для плоской границы с вакуумом ( );

• 4/3 для нитевидного () абсолютно чёрного тела

• для непоглощающего тонкого блока и () (здесь ).

Для аппроксимации результатов точной теории обычно используется показатель черноты блока, который может быть введен ввиде отношения: , (25)

в зависимости от которого определяется безразмерная длина экстраполяции плотности потока нейтронов в зависимости от черноты стержня.

Итоги: граничным условием на поверхности S_ячейки является равный нулю ток нейтронов извне. На границах зон ячейки используются условия сшивки токов нейтронов в виде , где «к»- номер зоны, или альбедо, т. е. коэффициента отражения, который равен .

Значение эффективной добавки в реакторе с отражателем определяется в расчёте альбедо, которое может быть использовано на границе с отражателем, если записать в виде:

, (26)

и выразить правую часть граничных условий с помощью при r = R_а.з.:

где величина .

Альбедные условия могут быть использованы везде, где применим закон Фика, например, если =0.9, то =19 и при =2 см для «голого» реактора равно =38 см. для реактора с отражателем.

Интерференция поглощающих стержней. «Серый» поглощающий стержень и учёт его прозрачности для нейтронов. Пусть поглощаю-щий стержень радиусом помещён по оси цилиндрической активной зоны с бесконечной высотой. Если стержень вынут, то Кэфф = 1, а ρ = 0. Тогда при погружении в активную зону стержень внесёт отрицательную реактивность, в этом случае, кроме условия на внешней экстраполированной границе реактора, надо ввести граничные условия при .Тогда для чёрного поглощающего стержня поток на его эффективной поверхности , а истинный радиус стержня окажется . При он становится больше на величину, равную примерно .

Для серого стержня граничные условия равны для , где поглощающие свойства среды учитываются величиной параметра следующим образом:

· - условие на поверхности чёрного стержня;

· - случай пустой полости (Сd - трубка-ловушка).

Интерференция, как эффект взаимодействия двух и более стержней, наблюдается при наличии следующих условий. Пусть два одинаковых поглощающих стержня РС с радиусом расположены симметрично относительно центра реактора в -геометрии. Одногрупповое решение для этого случая может быть получено с учётом дополнительного члена, отражающего влияние второго стержня. Опуская выкладки, приводим для расчёта реактивности двух стержней следующее выражение:

, (27)

причём, если = 0, то эффективность двух стержней вдвое больше эффективности одного. Однако для меньших и больших значений «b»этот закон трансформируется из-за взаимного влияния стержней, т. е. интерференции. Результаты анализа этого явления показывают, что вблизи границы с вакуумом стержни не «чувствуют» присутствие друг друга. Так как величина N₀ = 0 при = 0.9, в точке с отсутствием интерференции при b/R <0.185 величина N₀ <0, и эффективность каждого из двух стержней становится меньше эффективности одиночного стержня с тем же эксцентриситетом и переходит в область с отрицательной интерференцией. С другой стороны при b/R > 0.185 имеет место положительная интерференция - на близком расстоянии они «затеняют» друг друга и усиливают друг друга при увеличении b. Вблизи границы активной зоны с пустотой, где b/R ≤1, взаимное влияние стержней практически исчезает и они перестают «чувствовать» друг друга. Т. о., явление интерференции есть зависимость суммарной эффективности идентичных стержней от расстояния между ними. Сближение поверхностей двух «чёрных» с d ≫1 поглощающих элементов (стержней, пластин, труб, шайб), находящихся в активной зоне, приводит к уменьшению их физической поглощающей поверхности и росту реактивности.

(Я считаю, что вначале надо рассказать об эффективности стержней и их интерференции, а затем о том, как рассчитывается эффективная граница черного стержня)