Логистический анализ

Для выполнения логистического анализа используется логистическая функция, с помощью которой описываются общие законы роста, присущие многим формам и уровням развития жизни, а также сфере материального производства и процессам изменения потребительского спроса. Например, спрос на модные мебельные гарнитуры: сначала медленный, но все ускоряющийся рост доли семей, приобретающих модные мебельные гарнитуры, переходящий в равномерный рост; затем рост приобретения замедляется по мере приближения к некоторой постоянной величине.

График логистической функции имеет форму латинской буквы «S», положенной на бок. Поэтому его еще называют S-образной кривой. Эта кривая имеет две точки перегиба и характеризуется переходом от ускоряющегося роста к равномерному (вогнутость) и от равномерного роста к замедляющемуся (выпуклость).

Логистический закон отражает динамику многих процессов в пространстве и во времени в живой и неживой природе, производстве и потреблении. Таким закономерностям подчиняются зарождение нового организма или популяции, их распространение и отмирание. Логистической закономерности присуще свойство отражать изменения возрастающего ускорения процесса на замедляющееся или, наоборот, — при обратной форме кривой. Эта особенность дает возможность определить статистическим путем различные критические, оптимальные и другие практически ценные точки, позволяющие определить и оптимизировать меры борьбы с популяциями вредителей леса, вирусными заболеваниями и другими природными явлениями, а также прогнозировать развитие спроса на потребительские товары.

Логистическая функция может быть выраженная уравнением Ферхюльста:

(1.1)

где Y — значение функции;

х — время;

А — расстояние между верхней и нижней асимптотами;

С — нижняя асимптота, т. е. предел, с которого начинается

рост функции;

a, b — параметры, определяющие наклон, изгиб и точки

перегиба графика логистической функции (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Графики логистических функций.

Для решения уравнения логистической функции первоначально надо определить верхнюю и нижнюю асимптоты. Это с достаточной точностью можно сделать по эмпирическому ряду путем простого его просмотра. Значение верхней асимптоты можно проверить аналитически по формуле:

,

где y₁,y₂,y₃ – три эмпирических значения функции, взятые через интервалы аргумента.

Уравнение логистической функции выражается в следующей логарифмической форме:

(1.2)

Обозначив левую часть этого уравнения через lg Z, получим параболу первого порядка:

(1.3)

Параметры этого уравнения находятся из решения системы нормальных уравнений методом наименьших квадратов:

(1.4)

Если найти из этих уравнений параметры а и b, то можно составить ряд величин (а + b х), равных теоретическим значениям lg (А /(у _х - С) -1). Определяя величины (А/(у_х - С)-1), легко составить ряд теоретических значений функции у_х. Если С =0, а верхняя асимптота равна 100%, или 1, то уравнение логистической функции упрощается до формы:

;

Пример логистического анализа

В основе логистического анализа лежит применение логистической функции, с помощью которой описываются законы роста, присущего многим формам и уровням жизни, а также сфере материального производства

В качестве примера логистического анализа рассмотрим определение логистической закономерности, описывающей изменение структуры водного транспорта леса. В связи с прекращением молевого сплава, изменялось соотношение между видами водного транспорта. Вместе со снижением молевого сплава возрастали объемы транспортировки леса в плотах и перевозки леса в судах. Изменение структуры водного транспорта леса представлено в табл.1.1.

Таблица 1.1