Окружность. Мы изучили линейные уравнения, задающие прямые

Мы изучили линейные уравнения, задающие прямые. Теперь мы рассмотрим уравнение второй степени с двумя переменными:

,

где, по крайней мере один из коэффициентов не равен нулю (в противном случае уравнение превращается в линейное). Изучим вопрос о том, какие линии определяются этим уравнением. Для начала рассмотрим некоторые частные случаи.

Ранее мы видели, что окружность с центром в точке и радиусом имеет уравнение

. (4.23)

Раскрывая скобки, получим или

(4.24)

где

.

Уравнение (4.24) является уравнением второй степени. Итак, окружность задается (имеет) уравнением второй степени относительно текущих координат. Подчеркнем, что в уравнении (4.24) коэффициенты при квадратах координат равны, а член с произведением координат отсутствует. Очевидно и обратное: при выполнении этих двух условий уравнение, вообще говоря, определяет окружность, так как приводится к виду (4.24) путем деления на коэффициент при .

Итак, по виду данного уравнения второй степени мы можем решить, является ли оно уравнением окружности или нет. Например, уравнение

(4.25)

определяет окружность, так как в нем коэффициенты при квадратах координат равны между собой, а член с произведением координат отсутствует. Желая построить эту окружность, мы должны определить координаты ее центра и радиус. С этой целью рассмотрим в нем члены, содержащие Выделяя в них полные квадраты, получим: , . Тогда, уравнение (4.25) примет вид: + или + 9. Сравнивая последнее уравнение с (4.23), видим, что . Таким образом, центром окружности является точка (2;-1) и ее радиус равен 3.

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, постоянна.

Очевидно, что эта сумма не может быть меньше расстояния между фокусами, если же она равна этому расстоянию, то рассматриваемым геометрическим местом точек будет отрезок прямой между фокусами.

Чтобы найти уравнение эллипса, проведем ось абсцисс через фокусы , выбрав на ней положительное направление от к ; начало координат возьмем в середине отрезка , (рис.4.10). Обозначим через расстояние между фокусами. Координаты фокусов и будут соответственно и . Пусть и координаты произвольной точки эллипса, тогда

.

По определению эллипса сумма есть величина постоянная. Обозначим ее через , тогда

+ = 2a.

Это и есть уравнение эллипса в выбранной системе координат.

Упростим его, для этого освободимся от радикалов, имеем:

.

Возводя обе части этого равенства в квадрат, получим:

,

или, раскрывая скобки и приводя подобные

, т.е.

Снова возведем в квадрат обе части последнего равенства:

или

т.е. Разделив обе части на , получим:

Так как по условию , то есть положительная величина, ее принято обозначать через .

x

y

x

y

M

Рис.4.10. Эллипс.

Рис.4.11. Директрисы эллипса

Тогда уравнение эллипса примет вид:

где

Уравнение (4.26) называется каноническим уравнением эллипса. Очевидно, что ему удовлетворяют координаты любой точки эллипса и, как можно показать, никакие другие.

Так как уравнение (4.26) содержит только квадраты текущих координат, то оси координат являются осями симметрии эллипса. Ось симметрии, на которой находятся фокусы, называется фокальной. Точка пересечения осей симметрии называется центром эллипса. Для эллипса, заданного уравнением (4.26), фокальная ось совпадает с осью абсцисс, а центром является начало координат.

Точки пересечения эллипса с осями симметрии называются его вершинами. Эллипс, заданный уравнением (4.26), имеет вершинами точки (рис.4.10): (), (),

Отрезки соединяющие противоположные вершины эллипса, называются соответственно большой и малой осями эллипса, их длины . Длины и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. При уравнение (4.26) принимает вид и определяет окружность.

Обозначим через расстояние от произвольной точки эллипса до соответствующих фокусов. Тогда

(4.28)

С другой стороны, и , где , y - координаты точки эллипса. Возводя эти равенства в квадрат, и вычитая из второго первое, получаем:

.

Раскрывая скобки и приводя подобные, находим:

(4.29)

Уравнение (4.29) перепишем в виде . Учитывая равенство (4.28), имеем: . Решая полученное уравнение совместно с уравнением (4.28), найдем, что

Величина , входящая в последние формулы, называется эксцентриситетом эллипса; мы будем обозначать ее через . Эксцентриситет есть отношение фокусного расстояния к длине большой оси, причем . так как (для окружности и =0). С учетом принятого обозначения, мы получили следующие формулы для фокальных радиусов и :

Рассмотрим прямую (), параллельную оси ординат, и найдем расстояние от произвольной точки эллипса до его правого фокуса и расстояние от этой точки до прямой (рис.4.11). Вычислим отношение этих расстояний.

Так как , то

Если , то отношение будет сохранять постоянное значение, равное . В силу симметрии то же можно сказать относительно левого фокуса и прямой с уравнением .

Две прямые, перпендикулярные к фокальной оси эллипса и отстоящие на расстоянии от его центра, называются директрисами эллипса, они обладают следующим свойством: отношение расстояний от любой точки эллипса до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету.

Пример 4.19. Найти эксцентриситет и директрисы эллипса .

Написав уравнение эллипса в виде заключаем, что , . Следовательно, откуда

Уравнения директрис:

Пусть эллипс задан своим каноническим уравнением Рассмотрим уравнение окружности , описанной около эллипса (рис. 4.12).

Назовем две точки и , лежащие соответственно на эллипсе и окружности, соответствующими точками, если они имеют одинаковую абсциссу и лежат по одну и ту же сторону от оси . Обозначим их ординаты соответственно через и , тогда , . Сравнив последние уравнения, заключаем, что . Разрешая это уравнение относительно , получаем: , откуда окончательно .

Так как , то положим , тогда . Эта формула показывает, что величина вектора может рассматриваться как проекция вектора (рис.4.13), если угол между и принять равным .

x

y

0

p

Рис. 4.12. Соответствующие точки.

Рис. 4.13. Эллипс, как проекция окружности

Отсюда следует, что если поместить окружность в плоскости, наклоненной к плоскости эллипса под углом , то эллипс будет являться ортогональной проекцией этой окружности.

Координаты соответствующих точек и эллипса и окружности связаны соотношениями:

,

, (4.30)

а параметрические уравнения окружности имеют вид:

, (4.31)

Заменяя в (4.30) их выражениями из (4.31), получим

и ,

или окончательно

,

.

Это и есть параметрические уравнения эллипса.

Заключая этот параграф, рассмотрим эллипс, центр которого находится в точке с координатами . Такой эллипс задается уравнением