Смешанное произведение трех векторов

Выясним, что можно сказать о произведении трех векторов. Если мы умножим скалярно два вектора , то их произведение будет скаляром. При умножении третьего вектора на этот скаляр мы получим вектор, коллинеарный вектору .

Иное дело будет, если мы перемножим векторы векторно; в результате мы получим снова вектор. Если этот вектор снова векторно умножить на вектор , то получим новый вектор; если скалярно, то получим скаляр. Рассмотрим более подробно последний случай. Произведение называется смешанным произведением и обозначается или .

Для применения смешанного произведения важно выяснить его геометрический смысл. Пусть рассматриваемые векторы компланарны. Векторное произведение есть вектор, длина которого численно равна площади параллелограмма OADB, построенного на векторах , и который направлен перпендикулярно к плоскости этого параллелограмма (рис.3.16). Скалярное произведение есть произведение длины вектора на проекцию вектора с на вектор e. Эта проекция как проекция вектора c на перпендикуляр к плоскости равна расстоянию от конца вектора c до плоскости параллелограмма, взятому со знаком + или -.

Построим на векторах параллелепипед. Его высота равна абсолютной величине проекции , а площадь основания численно равна длине вектора e. Итак, произведение ec по абсолютной величине равно произведению площади основания параллелепипеда на его высоту, т.е. объему параллелепипеда.

Отметим, что это произведение имеет положительный знак, если угол между векторами острый (если векторы образуют правую систему), и отрицательный - если он тупой (если эти векторы образуют левую систему).

Из сказанного следует, что абсолютная величина abc не зависит от того, в каком порядке берутся сомножители. Круговая перестановка сомножителей не меняет величину смешан-

ного произведения. Перестановка двух соседних сомножителей меняет его знак:

x

A

0

e

z

y

Рис.3.16. Геометрический смысл смешанного произведение векторов.

Смешанное произведение обращается в нуль, если и только если векторы компланарны.

Рассмотрим векторы . Найдем проекции векторного произведения . Согласно формулам (3.15) эти проекции будут соответственно

Тогда

Правая часть этого равенства есть определитель, у которого первая строка состоит из координат первого сомножителя, вторая - второго, третья - третьего. Итак, мы получаем, что

. (3.16)

На этом мы закончим знакомство с элементами векторной алгебры, которая широко применятся при решении различных задач, имеющих дело с величинами, характеризуемыми не только их величиной, но и направлением. Вопросы векторной алгебры освещаются, например, в [7], [8].