Вероятностный подход к оценке продолжительности проекта

В предыдущих рассуждения время — детерминированная величина.

На практике не удается однозначно оценить продолжительность работ особенно для новых систем для некоторых работ нет аналогов - выполняются впервые.

Реально — время выполнения работы – случайная величина.

При неоднократном выполнении одной и той же работы ее продолжительность, как правило, будет разной.

Для оценки вероятной ожидаемой продолжительности каждой работы и её вариации (дисперсии) можно использовать математические методы теории вероятности.

Такая оценка ожидаемой продолжительности принимается затем в качестве детерминированной продолжительности работ сетевой модели, а продолжитель-ность критического пути, вычисленная на основе таких детерминированных значений, принимается за полное время выполнения всего проекта.

Для оценки ожидаемой продолжительности каждой работы и дисперсии обычно используются временные параметры:

· оптимистическое время выполнения работы,

· пессимистическое время выполнения работы,

· наиболее вероятное время выполнения работы,

· ожидаемое время выполнения работы,

· вариацию времени выполнения работы,

· вариацию времени выполнения проекта,

которые задаются ответственными исполнителями работ.

Важно отметить – независимость оценок от внешних факторов, случайность только от внутренних факторов.

Первоначально в качестве априорного закона распределения продолжительности работы принималось Z – распределение и задавались три оценки:

to - оптимистическое время.

tm – наиболее вероятное время.

t1 -пессимистическое время.

Среднее или ожидаемое время:

to + 4tm + t1

toж = ———————————————

Располагая тремя оценками можно рассчитать общепринятую статистическую меру неопределенности – дисперсию как

σ ij ² = ((t1 - to)/6) ²

или вариациювремени выполнения работы

σ ij = ((t1 - to)/6).

Если время выполнения работы известно точно, то вариация σ ij = 0

Дальнейшие исследование распределений продолжитель-ностей работ позволили сделать вывод о целесообразности ориентироваться на β распределения и перейти на две оценки параметров распределения.

3to + 2t1

toж = —————————

σ ij = ((t1 - to)/5).

Пусть Т – время, необходимое для выполнения работ проекта. В пректе все работы со случайным временем выполнения, тогда Т – случайная величина.

Математическое ожидание времени выполнения проекта Е(Т) равно сумме ожидаемых значений времени выполнения работ toж, лежащих на критическом пути.

Вариация (дисперсия) общего времени проекта, в предположении о независимости времен выполнения работ равна сумме дисперсий работ критического пути.

Распределение времени завершения проекта Т является асимптотически нормальным со средним Е(Т) и дисперсией σ(Т)

Время завершения проекта в установленный срок — То.

Для определения вероятности, что Т ≤ То, используется таблица распределения величины z=(То–Е(Т))/σ(Т), которая имеет стандартное нормальное распределение.

Используя информацию в таблице, определим ожидаемое время и вариацию времени выполнения всех ра­бот проекта.

Например, для работы А

t^аож = (t^Ao + 4t^Am + t^A1)/6 = (4+4*5 + 13)/6 = 6,167;

σ² = ((t^A1 - t^Ao)/6)² = ((13 - 4)/6)² = (1,5)² = 2,25.

Аналогичные для других работ, запишем результат.

Работа	Предшест вующие	to	tm	t1	ta			tr
А	—					2,25	1,5		3,24	1,8
В	—					0,44	0,67		0,64	0,8
С	А					0,25	0,5		0,36	0,6
D	А					2,78	1,67
Е	А					0,11	0,33		0,16	0,4
F	С	1,5		2,5		0,03	0,17		0,04	0,2
G	D	1,5		4,5		0,25	0,5		0,36	0,6
H	В,Е	2,5	3,5	7,5		0,69	0,83
I	H	1,5		2,5		0,03	0,17		0,04	0,2
J	F,G,I					0,25	0,5		0,36	0,6
						5,53	4,17		7,96

Полагая время выполнения работы равным ожидаемому времени ее выполнения t ож, находим критический путь, используя метод PERT.

Работа	tож	ЕS	ЕF	LS	LF	R
А
В
С
D
Е
F
G
H
I
J
Проект

Критический путь для данного проекта включает работы: А, D, G, J.

Длина критического пути равна:

6 + 7 + 3 + 2 = 18.

Это означает, что ожидаемое время выполнения проекта составляет — 18 недель.

Далее определим вероятность выполнения проекта за 20 недель.

Определим дисперсию времени выполнения проек­та.

Ее значение равно сумме дисперсий времени выполнения работ критического пути:

σ ²(T) = 2,25 + 2,78+ 0,25 + 0,25 = 5,53.

Учитывая, что

σ (T)=√ σ ²(T) =√5,53 = 2,35,

находим значение Z для нормального распределения при Т₀ = 20:

Z = (Т₀-Е(Т))/ σ (Т) = (20 - 18)/2,35 = 0,85.

Используя таблицу нормального распределения, находим вероятность того, что время Т выполнения проекта находится в интервале Е(Т) < Т < То

На пересечении столбца «0.8» и строки «0.05» таблицы нормального рас­пределения находим значение = 0.3023.

Следовательно, искомая вероятность того, что время Т выполнения проекта находится в интервале 0 < Т < То, т.е. вероятность того, что проект будет выполнен за 20 недель при ожидаемом времени его выполнения 18 недель, равна: 0,5 + 0.3023 = 0,8023.

Аналогично определим вероятность выполнения проекта за 16 недель. Определим дисперсию времени выполнения проек­та.

Как и прежде, значение равно сумме дисперсий времени выполнения работ критического пути:

σ ²(T) = 2,25 + 2,78+ 0,25 + 0,25 = 5,53.

Учитывая, что

σ (T)= √ σ ²(T) = √5,53 = 2,35,

находим значение Z для нормального распределения при Т₀= 16:

Z = (Т₀-Е(Т))/ σ (Т) = (16 - 18)/2,35 = - 0,85.

Используя таблицу нормального распределения, находим вероятность того, что время Т выполнения проекта находит-ся в интервале Е(Т)<То<Т на пересечении столбца «0.8» и строки «0.05» таблицы находим значение = 0.3023.

Следовательно, вероятность того, что проект будет выполнен за 16 недель при ожидаемом времени его выполнения 18 недель, равна: 0,5-0.3023= 0,1977.

В результате применения модели PERT удается получить ответы на вопросы:

1. За какое минимальное время можно выполнить проект?

2. Когда должны начаться и закончиться отдельные работы?

3. Какие работы являются критическими и должны выполняться точно в установленное время, чтобы не сорвать срок выполнения проекта?

4. На какое время можно отложить срок выполнения «некритической» работы, чтобы она не стала критической и не повлияла на срок выполнения проекта.

5. Какова вероятность выполнения проекта к наперед заданному сроку?