Формулу (2.27) можно переписать в виде

(если ищется ) (2.28)

или

(если ищется ) (2.28’)

Обратите внимание на то, что при нахождении точки предыдущая точка считается уже известной, т.е. и являются постоянными величинами, а функция - функцией одной переменной .

Продифференцировав функцию с учетом формулы (2.28) и выражения градиента в точке , , получим, что необходимое условие экстремума примет вид:

(2.29)

Ему можно придать более компактную форму, если использовать скалярное произведение векторов:

(2.29’)

Если оптимум достигается внутри области решений системы ограничений данной задачи выпуклого программи-рования, то нет опасности, что точка , найденная по формуле (2.28) или (2.28’), выйдет за пределы этой области, и длину шага определяем по формуле (2.29) без каких-либо дополнительных ограничений.

Рассмотрим теперь задачу выпуклого программирования, когда оптимум целевой функции достигается на границе области решений системы ограничений.

В этом случае, взяв, как и ранее, в качестве исходной точки любую точку из области решений и находя последующие точки по формуле (2.28) или (2.28’), мы на некотором шаге получим, что уже не лежит в области решений.

Тогда вместо берем точку , которая лежит на пересечении направления спуска с границей области решений, а все последующие точки находятся путем проецирования на эту границу точек, получаемых обычным методом скорейшего спуска.

Ограничимся случаем, когда система ограничений линейная, т.е. область решений задачи для случая двух переменных ограничена отрезками прямых.