Классический метод дифференциальных исчислений

Если известна функциональная связь целевой функции с искомыми переменными Y=f(x₁,..., x_i,..., x_n, u₁,..., u_j,..., u_m), которая обладает непрерывными первыми частными производными, то, определив частные производные по своим искомым переменным, приравняв частные производные от Y по x_i к нулю и решив совместно систему уравнений:

(6.9)

найдем значения x_i, дающие стационарные значения целевой функции, среди которых находятся оптимальные.

На первый взгляд кажется, что использование этого метода позволяет достаточно просто решать задачу определения оптимума нелинейной функции нескольких переменных. Однако это не так. Существует ряд трудностей при его реализации и ограничений по применению:

1) при большом числе оптимизируемых параметров рассматриваемый метод становится весьма сложным в части решения системы уравнений (i =1, 2,..., n);

2) условие определения экстремума, выраженное системой уравнений (6.9), является необходимым, но не достаточным для решения задачи. Так как выражения (6.9) определяют положение стационарных точек внутри области, среди которых, кроме экстремальных, могут быть особые точки, учет достаточных условий нахождения экстремумов функции многих переменных является сложным как в алгоритмическом, так и в вычислительном плане. Так, достаточное условие существования min функции двух переменных достаточным условием существования min функции является положительная определенность матрицы

3) рассматриваемый метод дает возможность найти экстремум только в том случае, если он лежит внутри, а не на границе области возможных значений переменных, следовательно, требуется дополнительный анализ значений функции f(x₁,..., x_i,..., x_n, u₁,..., u_j,..., u_m) на границах допустимой области изменения параметров (x₁,..., x_i,..., x_n).

4) оптимизируемая функция f(x₁,..., x_i,..., x_n, u₁,..., u_j,..., u_m) должна быть непрерывной и иметь первые и вторые производные по оптимизируемым параметрам;

5) необходимо, чтобы оптимизируемые параметры, определяющие значения минимума или максимума функции, были независимы, т. е. не должно быть дополнительных уравнений, связывающих между собой часть параметров.

Выбор того или иного метода решения экстремальных задач исследования операций зависит в основном от следующих факторов: принадлежности задачи исследования операций к тому или иному классу, от способа задания критерия оптимизации, от линейности или нелинейности математической модели решаемой задачи, от времени и средств, имеющихся в распоряжении ответственного за выработку оптимальных решений, от личных склонностей и уровня подготовки, от качества и количества информации об объекте оптимизации.